Exponenta Banner
exponenta event banner

Оцените, что коэффициенты ОДУ соответствуют данный решение

Открыть скрипт

В этом примере показано, как оценить параметры модели с помощью линейного и нелинейного моделирования серого ящика.

Используйте идентификацию серого ящика, чтобы оценить коэффициенты ОДУ, которые описывают динамику модели, чтобы соответствовать данной траектории ответа.

  • Для линейной динамики представляйте модель с помощью линейной модели серого ящика (idgrey). Оцените коэффициенты модели с помощью greyest.

  • Для нелинейной динамики представляйте модель с помощью нелинейной модели серого ящика (idnlgrey). Оцените коэффициенты модели с помощью nlgreyest.

В этом примере вы оцениваете значение коэффициента трения математического маятника с помощью его данных о колебании. Уравнение движения математического маятника:

$$m{l^2}\ddot \theta + b\dot \theta + mglsin\theta = 0$$

${\theta}$ угловое смещение маятника относительно его состояния отдыха. g ускорение свободного падения. m масса маятника и l длина маятника. b коэффициент вязкого трения, значение которого, как оценивается, соответствует данным угловым данным о смещении. Нет никакой внешней движущей силы, которая способствует движению маятника.

Загрузите результаты измерений.

load(fullfile(matlabroot,'toolbox','ident', ...
     'iddemos','data','pendulumdata'));
data = iddata(y,[],0.1,'Name','Pendulum');
data.OutputName = 'Pendulum position';
data.OutputUnit = 'rad';
data.Tstart = 0;
data.TimeUnit = 's';

Измеренные угловые данные о смещении загружаются и сохранены как data, iddata объект с шагом расчета 0,1 секунд. set команда используется, чтобы задать атрибуты данных, такие как выходное имя, устройство вывода, и время начала и модули временного вектора.

Выполните линейную оценку серого ящика.

Предположение, что маятник подвергается только маленьким угловым смещениям, уравнение, описывающее движение маятника, может быть упрощено:

$$m{l^2}\ddot \theta + b\dot \theta + mgl\theta = 0$$

Используя угловое смещение ($\theta$) и скорость вращения ($\dot \theta$) как переменные состояния, упрощенное уравнение может быть переписано в форме:

$$\begin{array}{l}
\mathop {X(t)}\limits^. = AX(t) + Bu(t)\\
y(t) = CX(t) + Du(t)
\end{array}$$

Здесь,

$$\begin{array}{l}
X(t) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
\theta \\
{\dot \theta }
\end{array}} \right]\\
A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1\\
{\frac{{ - g}}{l}}&{\frac{{ - b}}{{m{l^2}}}}
\end{array}} \right]\\
B = 0\\
C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0
\end{array}} \right]\\
D = 0
\end{array}$$

B и D матрицы являются нулем, потому что нет никакой внешней движущей силы для математического маятника.

1. Создайте файл ОДУ, который связывает коэффициенты модели с его представлением пространства состояний.

function [A,B,C,D] = LinearPendulum(m,g,l,b,Ts)
A = [0 1; -g/l, -b/m/l^2];
B = zeros(2,0);
C = [1 0];
D = zeros(1,0);
end

Функция, LinearPendulum, возвращает представление пространства состояний линейной модели движения математического маятника с помощью коэффициентов модели mGL, и b. Ts шаг расчета. Сохраните эту функцию как LinearPendulum.m. Функциональный LinearPendulum должен быть на пути MATLAB®. В качестве альтернативы можно задать имя полного пути для этой функции.

2. Создайте линейную модель серого ящика, сопоставленную с LinearPendulum функция.

m = 1;
g = 9.81;
l = 1;
b = 0.2;
linear_model = idgrey('LinearPendulum',{m,g,l,b},'c');

mG и, l задайте значения известных коэффициентов модели. b задает исходное предположение для коэффициента вязкого трения. 'c' входной параметр в вызове idgrey задает linear_model как система непрерывного времени.

3. Задайте mG, и l как известные параметры.

linear_model.Structure.Parameters(1).Free = false;
linear_model.Structure.Parameters(2).Free = false;
linear_model.Structure.Parameters(3).Free = false;

Как задано на предыдущем шаге, mG, и l первые три параметра linear_model. Используя Structure.Parameters.Free поле для каждого из параметров, mG, и l заданы как фиксированные значения.

4. Создайте набор опции оценки, который задает начальное состояние, которое будет оценено, и включает отображение прогресса оценки. Также обеспечьте алгоритм оценки, чтобы возвратить устойчивую модель. Эта опция доступна только для линейной модели (idgrey) оценка.

opt = greyestOptions('InitialState','estimate','Display','on');
opt.EnforceStability = true;

5. Оцените коэффициент вязкого трения.

linear_model = greyest(data,linear_model,opt);

greyest команда обновляет параметр linear_model.

b_est = linear_model.Structure.Parameters(4).Value;
[linear_b_est,dlinear_b_est] = getpvec(linear_model,'free')

linear_b_est =

    0.1178


dlinear_b_est =

    0.0088

getpvec возвращается, dlinear_b_est, 1 неопределенность стандартного отклонения сопоставлена с b, свободный параметр оценки linear_modelОриентировочная стоимость.The b, коэффициент вязкого трения, с помощью линейной оценки серого ящика возвращен в linear_b_est.

6. Сравните ответ линейной модели серого ящика к результатам измерений.

compare(data,linear_model)

Линейная модель оценки серого ящика обеспечивает подгонку на 49,9% к результатам измерений. Плохая подгонка происходит из-за предположения, что маятник подвергается маленьким угловым смещениям, тогда как результаты измерений показывают большие колебания.

Выполните нелинейную оценку серого ящика.

Нелинейная оценка серого ящика требует, чтобы вы описали дифференциальное уравнение в виде набора уравнений первого порядка.

Используя угловое смещение ($\theta$) и скорость вращения ($\dot \theta$) как переменные состояния, уравнение движения может быть переписано в виде набора первого порядка нелинейные дифференциальные уравнения:

$$\begin{array}{l}
{x_1}(t) = \theta (t)\\
{x_2}(t) = \dot \theta (t)\\
{{\dot x}_1}(t) = {x_2}(t)\\
{{\dot x}_2}(t) = \frac{{ - g}}{l}sin({x_1}(t)) - \frac{b}{{m{l^2}}}{x_2}(t)\\
y(t) = {x_1}(t)
\end{array}$$

1. Создайте файл ОДУ, который связывает коэффициенты модели с его нелинейным представлением.

function [dx,y] = NonlinearPendulum(t,x,u,m,g,l,b,varargin)

% Output equation.
y = x(1); % Angular position.

% State equations.
dx = [x(2);                             ... % Angular position
      -(g/l)*sin(x(1))-b/(m*l^2)*x(2)   ... % Angular velocity
     ];
end

Функция, NonlinearPendulum, возвращает производные состояния и выход нелинейной модели движения маятника с помощью коэффициентов модели mGL, и b. Сохраните эту функцию как NonlinearPendulum.m на пути MATLAB®. В качестве альтернативы можно задать имя полного пути для этой функции.

2. Создайте нелинейную модель серого ящика, сопоставленную с NonlinearPendulum функция.

m = 1;
g = 9.81;
l = 1;
b = 0.2;
order         = [1 0 2];
parameters    = {m,g,l,b};
initial_states = [1; 0];
Ts            = 0;
nonlinear_model = idnlgrey('NonlinearPendulum',order,parameters,initial_states,Ts);

3. Задайте mG, и l как известные параметры.

setpar(nonlinear_model,'Fixed',{true true true false});

Как задано на предыдущем шаге, mG, и l первые три параметра nonlinear_model. Используя setpar команда, mG, и l заданы как фиксированные значения и b задан как свободный параметр оценки.

4. Оцените коэффициент вязкого трения.

nonlinear_model = nlgreyest(data,nonlinear_model,'Display','Full');

nlgreyest команда обновляет параметр nonlinear_model.

b_est = nonlinear_model.Parameters(4).Value;
[nonlinear_b_est, dnonlinear_b_est] = getpvec(nonlinear_model,'free')

nonlinear_b_est =

    0.1002


dnonlinear_b_est =

    0.0149

getpvec возвращается, как dnonlinear_b_est, 1 неопределенность стандартного отклонения сопоставлена с b, свободный параметр оценки nonlinear_modelОриентировочная стоимость.The b, коэффициент вязкого трения, с помощью нелинейной оценки серого ящика возвращен в nonlinear_b_est.

5. Сравните ответ линейных и нелинейных моделей серого ящика к результатам измерений.

compare(data,linear_model,nonlinear_model)

Нелинейная оценка модели серого ящика обеспечивает более близкую подгонку к результатам измерений.

Смотрите также

| | |

Похожие темы

Документация System Identification Toolbox

Поддержка