Идентификация частотного диапазона: оценка моделей Используя данные о частотном диапазоне

В этом примере показано, как оценить модели с помощью данных о частотном диапазоне. Оценка и валидация моделей с помощью данных о частотном диапазоне работают одинаково, как они делают с данными об области времени. Это обеспечивает большое количество гибкости по оценке и анализу моделей, использующих время и частотный диапазон, а также спектральные данные (FRF). Можно одновременно оценить модели с помощью данных в обеих областях, сравнить и объединить эти модели. Модель, оцененная с помощью данных об области времени, может быть подтверждена с помощью спектральных данных или наоборот.

Данные о частотном диапазоне не могут использоваться для оценки или валидации нелинейных моделей.

Введение

Экспериментальные данные частотного диапазона распространены во многих приложениях. Могло случиться так, что данные были собраны как данные о частотной характеристике (функции частоты: FRF) от процесса с помощью частоты анализатор. Могло также случиться так, что это более практично, чтобы работать с преобразованиями Фурье ввода и вывода (БПФ данных временного интервала), например, обработать периодические или ограниченные данные полосы. (Ограниченный полосой непрерывный сигнал времени не имеет никаких частотных составляющих выше частоты Найквиста). В System Identification Toolbox данные о вводе-выводе частотного диапазона представлены тот же путь как данные временного интервала, т.е. использование iddata объекты. Свойство 'Domain' объекта должно быть установлено в 'Частоту'. Данные о частотной характеристике представлены как комплексные векторы или как векторы величины/фазы в зависимости от частоты. Объекты IDFRD в тулбоксе используются, чтобы инкапсулировать FRFs, где пользователь задает комплексные данные об ответе и вектор частоты. Такой IDDATA или объекты IDFRD (и также объекты FRD Control System Toolbox) могут использоваться беспрепятственно с любой стандартной программой оценки (такой как procest, tfest и т.д.).

Осмотр данных о частотном диапазоне

Давайте начнем путем загрузки некоторых данных о частотном диапазоне:

load demofr

Этот MAT-файл содержит данные о частотной характеристике на частотах W, с амплитудным ответом AMP и фазовый отклик PHA. Давайте сначала взглянем на данные:

subplot(211), loglog(W,AMP),title('Amplitude Response')
subplot(212), semilogx(W,PHA),title('Phase Response')

Это экспериментальные данные будет теперь храниться как объект IDFRD. Сначала преобразуйте амплитуду, и фаза к комплексу оценила ответ:

zfr = AMP.*exp(1i*PHA*pi/180);
Ts = 0.1;
gfr = idfrd(zfr,W,Ts);

Ts шаг расчета базовых данных. Если данные соответствуют непрерывному времени, например, поскольку вход был ограничен полосой, используйте Ts = 0.

Примечание: Если у вас есть Control System Toolbox™, вы могли бы использовать объект FRD вместо объекта IDFRD. IDFRD имеет опции для получения дополнительной информации, как спектры воздействия и меры по неопределенности, которые не доступны в объектах FRD.

Объект IDFRD gfr теперь содержит данные, и они могут строиться и анализироваться по-разному. Чтобы просмотреть данные, мы можем использовать plot или bode:

clf
bode(gfr), legend('gfr')

Оценка моделей Используя частотную характеристику (FRF) данные

Чтобы оценить модели, можно теперь использовать gfr как набор данных со всеми командами тулбокса прозрачным способом. Единственное ограничение - то, что шумовые модели не могут быть созданы. Это означает, что для полиномиальных моделей только OE (модели ошибки на выходе) применяются, и для моделей в пространстве состояний, необходимо зафиксировать K = 0.

m1 = oe(gfr,[2 2 1]) % Discrete-time Output error (transfer function) model
ms = ssest(gfr) % Continuous-time state-space model with default choice of order
mproc = procest(gfr,'P2UDZ') % 2nd-order, continuous-time model with underdamped poles
compare(gfr,m1,ms,mproc)
L = findobj(gcf,'type','legend');
L.Location = 'southwest'; % move legend to non-overlapping location
m1 =
Discrete-time OE model: y(t) = [B(z)/F(z)]u(t) + e(t)
  B(z) = 0.9986 z^-1 + 0.4968 z^-2                   
                                                     
  F(z) = 1 - 1.499 z^-1 + 0.6998 z^-2                
                                                     
Sample time: 0.1 seconds
  
Parameterization:
   Polynomial orders:   nb=2   nf=2   nk=1
   Number of free coefficients: 4
   Use "polydata", "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.

Status:                                             
Estimated using OE on frequency response data "gfr".
Fit to estimation data: 88.04%                      
FPE: 0.2512, MSE: 0.2492                            

ms =
  Continuous-time identified state-space model:
      dx/dt = A x(t) + B u(t) + K e(t)
       y(t) = C x(t) + D u(t) + e(t)
 
  A = 
           x1      x2
   x1  -1.785   3.097
   x2  -6.835  -1.785
 
  B = 
          u1
   x1  -4.15
   x2  27.17
 
  C = 
           x1      x2
   y1    1.97  0.3947
 
  D = 
       u1
   y1   0
 
  K = 
       y1
   x1   0
   x2   0
 
Parameterization:
   FREE form (all coefficients in A, B, C free).
   Feedthrough: none
   Disturbance component: none
   Number of free coefficients: 8
   Use "idssdata", "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.

Status:                                                
Estimated using SSEST on frequency response data "gfr".
Fit to estimation data: 88.04%                         
FPE: 0.2512, MSE: 0.2492                               

mproc =
Process model with transfer function:            
                     1+Tz*s                      
  G(s) = Kp * ---------------------- * exp(-Td*s)
              1+2*Zeta*Tw*s+(Tw*s)^2             
                                                 
         Kp = 7.4619                             
         Tw = 0.20245                            
       Zeta = 0.36242                            
         Td = 0                                  
         Tz = 0.013617                           
                                                 
Parameterization:
    {'P2DUZ'}
   Number of free coefficients: 5
   Use "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.

Status:                                                  
Estimated using PROCEST on frequency response data "gfr".
Fit to estimation data: 88.03%                           
FPE: 0.2517, MSE: 0.2492                                 

Как показано выше множества линейных типов модели может быть оценен и в областях непрерывного и в дискретного времени, с помощью спектральных данных. Эти модели могут быть подтверждены с помощью, данные временного интервала. Набор данных ввода-вывода временного интервала ztime, например, собран из той же системы и может использоваться для валидации m1, ms и mproc:

compare(ztime,m1,ms,mproc) %validation in a different domain

Мы можем также посмотреть на остаточные значения, чтобы подтвердить качество модели с помощью данных о валидации ztime. Как наблюдается, остаточные значения являются почти белыми:

resid(ztime,mproc) % Residuals plot

Сжатие данных Используя SPAFDR

Важная причина работать с данными о частотной характеристике состоит в том, что легко уплотнить информацию с небольшой потерей. Команда SPAFDR позволяет вам вычислять сглаживавшие данные об ответе по ограниченным частотам, например, с логарифмическим интервалом. Вот пример где gfr данные сжаты к 100 логарифмически расположенным с интервалами значениям частоты. С подобным методом также могут быть сжаты исходные данные об области времени:

sgfr = spafdr(gfr) % spectral estimation with frequency-dependent resolution
sz = spafdr(ztime); % spectral estimation using time-domain data
clf
bode(gfr,sgfr,sz)
axis([pi/100 10*pi, -272 105])
legend('gfr (raw data)','sgfr','sz','location','southwest')
sgfr =
IDFRD model.
Contains Frequency Response Data for 1 output(s) and 1 input(s), and the spectra for disturbances at the outputs.
Response data and disturbance spectra are available at 100 frequency points, ranging from 0.03142 rad/s to 31.42 rad/s.
 
Sample time: 0.1 seconds
Output channels: 'y1'
Input channels: 'u1'
Status:                                                 
Estimated using SPAFDR on frequency response data "gfr".

Диаграммы Боде показывают, что информация в сглаживавших данных была взята хорошо забота за. Теперь эти записи данных с 100 точками могут очень хорошо использоваться для оценки модели. Например:

msm = oe(sgfr,[2 2 1]);
compare(ztime,msm,m1) % msm has the same accuracy as M1 (based on 1000 points)

Оценка Используя данные о вводе-выводе частотного диапазона

Может случиться так, что измерения доступны как преобразования Фурье входных параметров и выхода. Такие данные о частотном диапазоне из системы даны как сигналы Y и U. В графиках loglog они похожи

Wfd = (0:500)'*10*pi/500;
subplot(211),loglog(Wfd,abs(Y)),title('The amplitude of the output')
subplot(212),loglog(Wfd,abs(U)),title('The amplitude of the input')

Данные о частотной характеристике являются по существу отношением между Y и U. Чтобы собрать данные о частотном диапазоне как объект IDDATA, сделайте можно следующим образом:

ZFD = iddata(Y, U, 'Ts', 0.1, 'Frequency', Wfd)
ZFD =

Frequency domain data set with responses at 501 frequencies.
Frequency range: 0 to 31.416 rad/seconds
Sample time: 0.1 seconds                                                                              
                                                                                                      
Outputs      Unit (if specified)                                                                      
   y1                                                                                                 
                                                                                                      
Inputs       Unit (if specified)                                                                      
   u1                                                                                                 
                                                                                                      

Теперь снова набор данных частотного диапазона ZFD может использоваться в качестве данных во всех стандартных программах оценки, в качестве данных об области времени и данных о частотной характеристике:

mf = ssest(ZFD)   % SSEST picks best order in 1:10 range when called this way
mfr = ssregest(ZFD) % an alternative regularized reduction based state-space estimator
clf
compare(ztime,mf,mfr,m1)
mf =
  Continuous-time identified state-space model:
      dx/dt = A x(t) + B u(t) + K e(t)
       y(t) = C x(t) + D u(t) + e(t)
 
  A = 
           x1      x2
   x1   -1.78   3.095
   x2  -6.812   -1.78
 
  B = 
          u1
   x1   1.32
   x2  28.61
 
  C = 
              x1         x2
   y1          2  6.418e-08
 
  D = 
       u1
   y1   0
 
  K = 
       y1
   x1   0
   x2   0
 
Parameterization:
   FREE form (all coefficients in A, B, C free).
   Feedthrough: none
   Disturbance component: none
   Number of free coefficients: 8
   Use "idssdata", "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.

Status:                                              
Estimated using SSEST on frequency domain data "ZFD".
Fit to estimation data: 97.21%                       
FPE: 0.04288, MSE: 0.04186                           

mfr =
  Discrete-time identified state-space model:
    x(t+Ts) = A x(t) + B u(t) + K e(t)
       y(t) = C x(t) + D u(t) + e(t)
 
  A = 
               x1         x2         x3         x4         x5         x6
   x1       0.701   -0.05307    -0.4345   0.006642   -0.08085    -0.1158
   x2     -0.4539   -0.09623    -0.3629    -0.2113    -0.2219     0.3536
   x3      0.1719    -0.3996     0.4385    0.01558     0.1768     0.2467
   x4      0.1821    -0.3465    -0.3292    -0.1357     0.2578    -0.2483
   x5    -0.09939     -0.338     0.1236     0.2537     -0.387    0.05591
   x6    -0.06004      0.226    0.04117     0.6891    -0.0873     0.2818
   x7     -0.1056     0.1859    0.04223      0.629     0.1968    -0.7077
   x8     0.05337     0.1948    0.06355    0.09052     0.4216     0.3997
   x9     0.01696    0.05961    0.04891   -0.01251    0.03521     0.3876
   x10    0.01727     0.1232    0.03586     0.1187     0.1738    0.05051
 
               x7         x8         x9        x10
   x1     -0.3087   0.007547   -0.02011     0.1469
   x2    -0.01728   -0.04967    -0.1144   -0.03883
   x3     0.07107    -0.2977      0.129    0.06179
   x4    -0.08461   -0.03541   -0.06711    -0.1759
   x5     -0.5324     0.1778     0.1114  2.119e-05
   x6       0.155    -0.5047     -0.285    -0.3976
   x7     -0.2406     0.5628    0.09159     0.4845
   x8     -0.5674    -0.3337     -0.105    -0.1995
   x9      0.2024     0.4718   -0.01861    -0.5838
   x10   -0.01243    -0.2968     0.6808    -0.7726
 
  B = 
              u1
   x1   -0.09482
   x2     0.7665
   x3     -1.036
   x4     -0.162
   x5    -0.2926
   x6     0.0805
   x7    -0.1277
   x8   -0.02441
   x9    -0.0288
   x10  -0.03776
 
  C = 
            x1       x2       x3       x4       x5       x6       x7
   y1    1.956  -0.4539   -1.805    1.356   0.3662    1.691   0.8489
 
            x8       x9      x10
   y1    0.148   0.5203   0.4013
 
  D = 
       u1
   y1   0
 
  K = 
                y1
   x1       0.1063
   x2    -0.007395
   x3       0.0426
   x4    -0.004966
   x5     -0.01505
   x6    -0.005483
   x7   -0.0004218
   x8    -0.001044
   x9    -0.003066
   x10   -0.002273
 
Sample time: 0.1 seconds
  
Parameterization:
   FREE form (all coefficients in A, B, C free).
   Feedthrough: none
   Disturbance component: estimate
   Number of free coefficients: 130
   Use "idssdata", "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.

Status:                                                 
Estimated using SSREGEST on frequency domain data "ZFD".
Fit to estimation data: 76.61% (prediction focus)       
FPE: 3.448, MSE: 2.938                                  

Преобразования между представлениями данных (время - частота)

Время и наборы данных ввода - вывода частотного диапазона могут быть преобразованы к любой области при помощи БПФ и ОБПФ. Эти команды адаптируются к объектам IDDATA:

dataf = fft(ztime)
datat = ifft(dataf)
dataf =

Frequency domain data set with responses at 501 frequencies.
Frequency range: 0 to 31.416 rad/seconds
Sample time: 0.1 seconds                                                                              
                                                                                                      
Outputs      Unit (if specified)                                                                      
   y1                                                                                                 
                                                                                                      
Inputs       Unit (if specified)                                                                      
   u1                                                                                                 
                                                                                                      

datat =

Time domain data set with 1000 samples.
Sample time: 0.1 seconds                
                                        
Outputs      Unit (if specified)        
   y1                                   
                                        
Inputs       Unit (if specified)        
   u1                                   
                                        

Время и данные ввода - вывода частотного диапазона могут быть преобразованы к данным о частотной характеристике SPAFDR, SPA и ETFE:

g1 = spafdr(ztime)
g2 = spafdr(ZFD);
clf;
bode(g1,g2)
g1 =
IDFRD model.
Contains Frequency Response Data for 1 output(s) and 1 input(s), and the spectra for disturbances at the outputs.
Response data and disturbance spectra are available at 100 frequency points, ranging from 0.06283 rad/s to 31.42 rad/s.
 
Sample time: 0.1 seconds
Output channels: 'y1'
Input channels: 'u1'
Status:                                            
Estimated using SPAFDR on time domain data "ztime".

Данные о частотной характеристике могут также быть преобразованы к более сглаживавшим данным (меньше разрешения и меньше данных) SPAFDR и SPA;

g3 = spafdr(gfr);

Данные о частотной характеристике могут быть преобразованы к сигналам ввода - вывода частотного диапазона командой IDDATA:

gfd = iddata(g3)
plot(gfd)
gfd =

Frequency domain data set with responses at 100 frequencies.
Frequency range: 0.031416 to 31.416 rad/seconds
Sample time: 0.1 seconds                                                                                     
                                                                                                             
Outputs      Unit (if specified)                                                                             
   y1                                                                                                        
                                                                                                             
Inputs       Unit (if specified)                                                                             
   u1                                                                                                        
                                                                                                             

Используя данные частотного диапазона непрерывного времени, чтобы оценить модели непрерывного времени

Данные об области времени могут естественно только храниться и имели дело с как дискретное время, выборочные данные. Данные о частотном диапазоне имеют преимущество, что непрерывные данные времени могут быть представлены правильно. Предположим, что базовые непрерывные сигналы времени не имеют никакой информации о частоте выше частоты Найквиста, e.g. потому что они производятся быстро, или вход не имеет никакой частотной составляющей выше частоты Найквиста и что данные были собраны из установившегося эксперимента. Затем Дискретные преобразования Фурье (DFT) данных также являются преобразованиями Фурье непрерывных сигналов времени на выбранных частотах. Они могут поэтому использоваться, чтобы непосредственно подбирать непрерывные модели времени.

Это будет проиллюстрировано следующим примером.

Рассмотрите непрерывную систему времени:

$$ G(s) = \frac{1}{s^2+s+1} $$

m0 = idpoly(1,1,1,1,[1 1 1],'ts',0)
m0 =
Continuous-time OE model: y(t) = [B(s)/F(s)]u(t) + e(t)
  B(s) = 1                                             
                                                       
  F(s) = s^2 + s + 1                                   
                                                       
Parameterization:
   Polynomial orders:   nb=1   nf=2   nk=0
   Number of free coefficients: 3
   Use "polydata", "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.

Status:                                                         
Created by direct construction or transformation. Not estimated.

Загрузите данные, которые прибывают из установившейся симуляции этой системы с помощью периодических входных параметров. Собранные данные были преобразованы в частотный диапазон и сохраненные в файле CTFDData.mat.

load CTFDData.mat dataf % load continuous-time frequency-domain data.

Взгляд на данные:

plot(dataf)
set(gca,'XLim',[0.1 10])

Используя dataf поскольку оценка по умолчанию даст непрерывные модели времени: пространство состояний:

m4 = ssest(dataf,2); %Second order continuous-time model

Для полиномиальной модели с nb = 2 коэффициент числителя и nf = 2 предполагаемое содействующее использование знаменателя:

nb = 2;
nf = 2;
m5 = oe(dataf,[nb nf])
m5 =
Continuous-time OE model: y(t) = [B(s)/F(s)]u(t) + e(t)
  B(s) = -0.01831 s + 1.009                            
                                                       
  F(s) = s^2 + 1.001 s + 0.997                         
                                                       
Parameterization:
   Polynomial orders:   nb=2   nf=2   nk=0
   Number of free coefficients: 4
   Use "polydata", "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.

Status:                                             
Estimated using OE on frequency domain data "dataf".
Fit to estimation data: 70.15%                      
FPE: 0.00491, MSE: 0.00468                          

Сравните переходные процессы с неопределенностью в истинной системе m0 и модели m4 и m5. Доверительные интервалы показывают с закрашенными фигурами в графике.

clf
h = stepplot(m0,m4,m5);
showConfidence(h,1)
legend('show','location','southeast')

Несмотря на то, что это не было необходимо в этом случае, обычно рекомендуется фокусировать подгонку к ограниченному диапазону частот (фильтр нижних частот данные) при оценке использования непрерывных данных времени. Система имеет пропускную способность приблизительно 3 рад/с и была взволнована синусоидами до 6,2 рад/с. Разумный частотный диапазон, чтобы фокусировать подгонку к затем [0 7] rad/s:

m6 = ssest(dataf,2,ssestOptions('WeightingFilter',[0 7])) % state space model
m6 =
  Continuous-time identified state-space model:
      dx/dt = A x(t) + B u(t) + K e(t)
       y(t) = C x(t) + D u(t) + e(t)
 
  A = 
            x1       x2
   x1  -0.5011    1.001
   x2  -0.7446  -0.5011
 
  B = 
             u1
   x1  -0.01706
   x2     1.016
 
  C = 
               x1          x2
   y1       1.001  -0.0005347
 
  D = 
       u1
   y1   0
 
  K = 
       y1
   x1   0
   x2   0
 
Parameterization:
   FREE form (all coefficients in A, B, C free).
   Feedthrough: none
   Disturbance component: none
   Number of free coefficients: 8
   Use "idssdata", "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.

Status:                                                
Estimated using SSEST on frequency domain data "dataf".
Fit to estimation data: 87.03% (data prefiltered)      
FPE: 0.004832, MSE: 0.003631                           
m7 = oe(dataf,[1 2],oeOptions('WeightingFilter',[0 7])) % polynomial model of Output Error structure
m7 =
Continuous-time OE model: y(t) = [B(s)/F(s)]u(t) + e(t)
  B(s) = 0.9861                                        
                                                       
  F(s) = s^2 + 0.9498 s + 0.9704                       
                                                       
Parameterization:
   Polynomial orders:   nb=1   nf=2   nk=0
   Number of free coefficients: 3
   Use "polydata", "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.

Status:                                             
Estimated using OE on frequency domain data "dataf".
Fit to estimation data: 86.81% (data prefiltered)   
FPE: 0.004902, MSE: 0.003752                        
opt = procestOptions('SearchMethod','lsqnonlin',...
   'WeightingFilter',[0 7]); % Requires Optimization Toolbox(TM)
m8 = procest(dataf,'P2UZ',opt)  % process model with underdamped poles
m8 =
Process model with transfer function:
                     1+Tz*s          
  G(s) = Kp * ---------------------- 
              1+2*Zeta*Tw*s+(Tw*s)^2 
                                     
         Kp = 1.0124                 
         Tw = 1.0019                 
       Zeta = 0.5021                 
         Tz = -0.017474              
                                     
Parameterization:
    {'P2UZ'}
   Number of free coefficients: 4
   Use "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.

Status:                                                  
Estimated using PROCEST on frequency domain data "dataf".
Fit to estimation data: 87.03% (data prefiltered)        
FPE: 0.004832, MSE: 0.003631                             
opt = tfestOptions('SearchMethod','lsqnonlin',...
   'WeightingFilter',[0 7]); % Requires Optimization Toolbox
m9 = tfest(dataf,2,opt) % transfer function with 2 poles
m9 =
 
  From input "u1" to output "y1":
  -0.01662 s + 1.007
  ------------------
   s^2 + s + 0.995
 
Continuous-time identified transfer function.

Parameterization:
   Number of poles: 2   Number of zeros: 1
   Number of free coefficients: 4
   Use "tfdata", "getpvec", "getcov" for parameters and their uncertainties.

Status:                                                
Estimated using TFEST on frequency domain data "dataf".
Fit to estimation data: 87.03% (data prefiltered)      
FPE: 0.00491, MSE: 0.003629                            
h = stepplot(m0,m6,m7,m8,m9);
showConfidence(h,1)
legend('show')

Заключения

Мы видели, как время, частота и спектральные данные могут беспрепятственно использоваться, чтобы оценить множество линейных моделей и в областях непрерывного и в дискретного времени. Модели могут быть подтверждены и сравнены в областях, отличающихся от тех, они были оценены в. Форматы данных (время, частота и спектр) являются взаимозаменяемыми, с помощью методов, таких как fftifft, spafdr и spa. Кроме того, прямой, оценка непрерывного времени достижима при помощи tfest, ssest и procest стандартные программы оценки. Бесшовное использование данных в любой области для оценки и анализа является важной функцией System Identification Toolbox.

Смотрите также

| | |

Похожие темы

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте