В этом примере показано, как создать, отредактируйте и запросите Триангуляции Делоне с помощью delaunayTriangulation класс. Триангуляция Делоне является наиболее широко используемой триангуляцией в научных вычислениях. Свойства, сопоставленные с триангуляцией, обеспечивают базис для решения множества геометрических проблем. Конструкцию ограниченных Триангуляций Делоне также показывают, вместе с приложения, касающиеся среднего расчета оси и превращающейся mesh.
Этот пример показывает вам, как вычислить 2D Триангуляцию Делоне и затем построить триангуляцию вместе с вершиной и треугольными метками.
rng default
x = rand(10,1);
y = rand(10,1);
dt = delaunayTriangulation(x,y)dt =
delaunayTriangulation with properties:
Points: [10x2 double]
ConnectivityList: [11x3 double]
Constraints: []
triplot(dt)
Отобразите вершину и треугольные метки на графике.
hold on vxlabels = arrayfun(@(n) {sprintf('P%d', n)}, (1:10)'); Hpl = text(x,y,vxlabels,'FontWeight','bold','HorizontalAlignment',... 'center','BackgroundColor','none'); ic = incenter(dt); numtri = size(dt,1); trilabels = arrayfun(@(x) {sprintf('T%d',x)}, (1:numtri)'); Htl = text(ic(:,1),ic(:,2),trilabels,'FontWeight','bold', ... 'HorizontalAlignment','center','Color','blue'); hold off
Этот пример показывает вам, как вычислить и построить 3-D Триангуляцию Делоне.
rng default
X = rand(10,3);
dt = delaunayTriangulation(X)dt =
delaunayTriangulation with properties:
Points: [10x3 double]
ConnectivityList: [18x4 double]
Constraints: []
tetramesh(dt) view([10 20])
Чтобы отобразить большие четырехгранные сетки, используйте convexHull метод, чтобы вычислить граничную триангуляцию и построить его с помощью trisurf. Например:
triboundary = convexHull(dt); trisurf(triboundary, X(:,1), X(:,2), X(:,3),'FaceColor','cyan')
Существует два способа получить доступ к структуре данных триангуляции. Один путь через Triangulation свойство, другой путь использует индексацию.
Создайте 2D Триангуляцию Делоне из 10 случайных точек.
rng default
X = rand(10,2);
dt = delaunayTriangulation(X)dt =
delaunayTriangulation with properties:
Points: [10x2 double]
ConnectivityList: [11x3 double]
Constraints: []
Один способ получить доступ к структуре данных триангуляции с ConnectivityList свойство.
dt.ConnectivityList
ans = 11×3
8 2 3
6 7 3
5 2 8
7 8 3
7 5 8
7 6 1
4 7 1
9 5 4
4 5 7
9 2 5
⋮
Индексация является кратким способом запросить триангуляцию. Синтаксисом является dt(i,j), где j jвершина th iтреугольник th. Стандартные правила индексации применяются.
Запросите структуру данных триангуляции с индексацией.
dt(:,:)
ans = 11×3
8 2 3
6 7 3
5 2 8
7 8 3
7 5 8
7 6 1
4 7 1
9 5 4
4 5 7
9 2 5
⋮
Второй треугольник:
dt(2,:)
ans = 1×3
6 7 3
Третья вершина второго треугольника:
dt(2,3)
ans = 3
Первые три треугольника:
dt(1:3,:)
ans = 3×3
8 2 3
6 7 3
5 2 8
Этот пример показывает вам, как использовать основанное на индексе индексирование, чтобы вставить или удалить точки. Более эффективно отредактировать delaunayTriangulation сделать незначительные модификации в противоположность воссозданию нового delaunayTriangulation с нуля это особенно верно, если набор данных является большим.
Создайте Триангуляцию Делоне из 10 случайных точек в модульном квадрате.
rng default
x = rand(10,1);
y = rand(10,1);
dt = delaunayTriangulation(x,y)dt =
delaunayTriangulation with properties:
Points: [10x2 double]
ConnectivityList: [11x3 double]
Constraints: []
Вставьте 5 дополнительных случайных точек.
dt.Points(end+(1:5),:) = rand(5,2)
dt =
delaunayTriangulation with properties:
Points: [15x2 double]
ConnectivityList: [20x3 double]
Constraints: []
Замените пятую точку.
dt.Points(5,:) = [0 0]
dt =
delaunayTriangulation with properties:
Points: [15x2 double]
ConnectivityList: [20x3 double]
Constraints: []
Удалите четвертую точку.
dt.Points(4,:) = []
dt =
delaunayTriangulation with properties:
Points: [14x2 double]
ConnectivityList: [18x3 double]
Constraints: []
Этот пример показывает вам, как создать ограниченную Триангуляцию Делоне и иллюстрирует эффект ограничений.
Создайте и постройте ограниченную Триангуляцию Делоне.
X = [0 0; 16 0; 16 2; 2 2; 2 3; 8 3; 8 5; 0 5]; C = [1 2; 2 3; 3 4; 4 5; 5 6; 6 7; 7 8; 8 1]; dt = delaunayTriangulation(X,C); subplot(2,1,1) triplot(dt) axis([-1 17 -1 6]) xlabel('Constrained Delaunay triangulation','FontWeight','b')
Постройте ограниченные ребра красного цвета.
hold on plot(X(C'),X(C'+size(X,1)),'-r','LineWidth',2) hold off
Теперь удалите ограничения и постройте неограниченную Триангуляцию Делоне.
dt.Constraints = []; subplot(2,1,2) triplot(dt) axis([-1 17 -1 6]) xlabel('Unconstrained Delaunay triangulation','FontWeight','b')
Загрузите карту периметра совпадающих Соединенных Штатов. Создайте ограниченную Триангуляцию Делоне, представляющую многоугольник. Эта триангуляция охватывает область, которая ограничена выпуклой оболочкой набора точек. Отфильтруйте треугольники, которые являются в области многоугольника и строят их. Примечание: набор данных содержит дублирующиеся точки данных; то есть, две или больше точки данных имеют то же расположение. Дублирующиеся точки отклоняются и delaunayTriangulation переформатировал ограничения соответственно.
clf
load usapolygonЗадайте ограничение ребра между двумя последовательными точками, которые составляют многоугольный контур и создают Триангуляцию Делоне.
nump = numel(uslon); C = [(1:(nump-1))' (2:nump)'; nump 1]; dt = delaunayTriangulation(uslon,uslat,C);
Warning: Duplicate data points have been detected and removed. The Triangulation indices and constraints are defined with respect to the unique set of points in delaunayTriangulation.
Warning: Intersecting edge constraints have been split, this may have added new points into the triangulation.
io = isInterior(dt); patch('Faces',dt(io,:),'Vertices',dt.Points,'FaceColor','r') axis equal axis([-130 -60 20 55]) xlabel('Constrained Delaunay Triangulation of usapolygon','FontWeight','b')
Этот пример подсвечивает использование Триангуляции Делоне, чтобы восстановить многоугольный контур от облака точек. Реконструкция основана на изящном алгоритме Корки.
Ссылка: N. Сережки, M. Берн, и Д. Эппштайн. Корка и бета скелет: комбинаторная реконструкция кривой. Графические Модели и Обработка изображений, 60:125-135, 1998.
Создайте набор точек, представляющих облако точек.
numpts = 192; t = linspace( -pi, pi, numpts+1 )'; t(end) = []; r = 0.1 + 5*sqrt( cos( 6*t ).^2 + (0.7).^2 ); x = r.*cos(t); y = r.*sin(t); ri = randperm(numpts); x = x(ri); y = y(ri);
Создайте Триангуляцию Делоне набора точки.
dt = delaunayTriangulation(x,y); tri = dt(:,:);
Вставьте местоположение вершин Voronoi в существующую триангуляцию.
V = voronoiDiagram(dt);
Удалите бесконечную вершину и отфильтруйте дублирующиеся точки с помощью unique.
V(1,:) = [];
numv = size(V,1);
dt.Points(end+(1:numv),:) = unique(V,'rows');Ребра Delaunay, которые соединяют пары точек выборки, представляют контур.
delEdges = edges(dt); validx = delEdges(:,1) <= numpts; validy = delEdges(:,2) <= numpts; boundaryEdges = delEdges((validx & validy),:)'; xb = x(boundaryEdges); yb = y(boundaryEdges); clf triplot(tri,x,y) axis equal hold on plot(x,y,'*r') plot(xb,yb,'-r') xlabel('Curve reconstruction from point cloud','FontWeight','b') hold off
В этом примере показано, как создать аппроксимированную Среднюю Ось многоугольной области с помощью ограниченной Триангуляции Делоне. Средняя Ось многоугольника задана местоположением центра максимального диска во внутренней части многоугольника.
Создайте ограниченную Триангуляцию Делоне из выборки точек на доменном контуре.
load trimesh2d
dt = delaunayTriangulation(x,y,Constraints);
inside = isInterior(dt);Создайте триангуляцию, чтобы представлять доменные треугольники.
tr = triangulation(dt(inside,:),dt.Points);
Создайте набор ребер, которые соединяют центры описанной окружности соседних треугольников. Дополнительная логика создает уникальный набор таких ребер.
numt = size(tr,1); T = (1:numt)'; neigh = neighbors(tr); cc = circumcenter(tr); xcc = cc(:,1); ycc = cc(:,2); idx1 = T < neigh(:,1); idx2 = T < neigh(:,2); idx3 = T < neigh(:,3); neigh = [T(idx1) neigh(idx1,1); T(idx2) neigh(idx2,2); T(idx3) neigh(idx3,3)]';
Постройте доменные треугольники зеленого цвета, доменный контур синего цвета и среднюю ось красного цвета.
clf triplot(tr,'g') hold on plot(xcc(neigh), ycc(neigh), '-r','LineWidth',1.5) axis([-10 310 -10 310]) axis equal plot(x(Constraints'),y(Constraints'),'-b','LineWidth',1.5) xlabel('Medial Axis of Polygonal Domain','FontWeight','b') hold off
В этом примере показано, как превратить сетку 2D области, чтобы вместить модификацию к доменному контуру.
Шаг 1: Загрузите данные. Mesh, которая будет превращена, задана trife, xfe, и yfe, который является триангуляцией в формате вершины поверхности.
load trimesh2d clf triplot(trife,xfe,yfe) axis equal axis([-10 310 -10 310]) axis equal xlabel('Initial Mesh','FontWeight','b')
Шаг 2: Создайте фоновую триангуляцию - Ограниченная Триангуляция Делоне набора точек, представляющего контур mesh. Для каждой вершины mesh вычислите дескриптор, который задает его местоположение относительно фоновой триангуляции. Дескриптор является треугольником включения вместе с барицентрическими координатами относительно того треугольника.
dt = delaunayTriangulation(x,y,Constraints); clf triplot(dt) axis equal axis([-10 310 -10 310]) axis equal xlabel('Background Triangulation','FontWeight','b')
descriptors.tri = pointLocation(dt,xfe,yfe); descriptors.baryCoords = cartesianToBarycentric(dt,descriptors.tri,[xfe yfe]);
Шаг 3: Отредактируйте фоновую триангуляцию, чтобы включить желаемую модификацию к доменному контуру.
cc1 = [210 90]; circ1 = (143:180)'; x(circ1) = (x(circ1)-cc1(1))*0.6 + cc1(1); y(circ1) = (y(circ1)-cc1(2))*0.6 + cc1(2); tr = triangulation(dt(:,:),x,y); clf triplot(tr) axis([-10 310 -10 310]) axis equal xlabel('Edited Background Triangulation - Hole Size Reduced','FontWeight','b')
Шаг 4: Преобразуйте дескрипторы назад в Декартовы координаты с помощью деформированной фоновой триангуляции в качестве базиса для оценки.
Xnew = barycentricToCartesian(tr,descriptors.tri,descriptors.baryCoords); tr = triangulation(trife,Xnew); clf triplot(tr) axis([-10 310 -10 310]) axis equal xlabel('Morphed Mesh','FontWeight','b')
