Решите уравнения добычи хищника

В этом примере показано, как решить дифференциальное уравнение, представляющее модель хищника/добычи, использующую оба ode23 и ode45. Эти функции являются для числового решения размера шага переменной использования обыкновенных дифференциальных уравнений методами интегрирования Рунге-Кутта. ode23 использует простую 2-ю и 3-ю пару порядка формул для средней точности и ode45 использует 4-ю и 5-ю пару порядка для более высокой точности.

Считайте пару обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка известной как уравнения Lotka-Volterra или модель добычи хищника:

dxdt=x-αxydydt=-y+βxy.

Переменные x и y измерьте размеры добычи и популяций хищников, соответственно. Квадратичный перекрестный термин составляет взаимодействия между разновидностями. Популяция жертв увеличивается, когда никакие хищники не присутствуют, и уменьшения популяции хищников, когда добыча недостаточна.

Уравнения кода

Чтобы симулировать систему, создайте функцию, которая возвращает вектор-столбец производных состояния, учитывая состояние и временные стоимости. Эти две переменные x и y может быть представлен в MATLAB как первые два значения в векторном y. Точно так же производные являются первыми двумя значениями в векторном yp. Функция должна принять значения для t и y и возвратите значения, произведенные уравнениями в yp.

yp(1) = (1 - alpha*y(2))*y(1)

yp(2) = (-1 + beta*y(1))*y(2)

В этом примере уравнения содержатся в файле под названием lotka.m. Этот файл использует значения параметров α=0.01 и β=0.02.

type lotka
function yp = lotka(t,y)
%LOTKA  Lotka-Volterra predator-prey model.

%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

yp = diag([1 - .01*y(2), -1 + .02*y(1)])*y;

Симулируйте систему

Используйте ode23 решить дифференциальное уравнение, определенное в lotka на интервале 0<t<15. Используйте начальное условие x(0)=y(0)=20 так, чтобы популяции хищников и добычи были равны.

t0 = 0;
tfinal = 15;
y0 = [20; 20];   
[t,y] = ode23(@lotka,[t0 tfinal],y0);

Постройте результаты

Постройте получившиеся популяции против времени.

plot(t,y)
title('Predator/Prey Populations Over Time')
xlabel('t')
ylabel('Population')
legend('Prey','Predators','Location','North')

Figure contains an axes. The axes with title Predator/Prey Populations Over Time contains 2 objects of type line. These objects represent Prey, Predators.

Теперь постройте популяции друг против друга. Получившийся график плоскости фазы делает циклическое отношение между популяциями очень ясным.

plot(y(:,1),y(:,2))
title('Phase Plane Plot')
xlabel('Prey Population')
ylabel('Predator Population')

Figure contains an axes. The axes with title Phase Plane Plot contains an object of type line.

Сравните результаты других решателей

Решите систему во второй раз с помощью ode45, вместо ode23. ode45 решатель занимает больше времени у каждого шага, но это также делает большие шаги. Тем не менее, выход ode45 является гладким, потому что по умолчанию решатель использует непрерывную дополнительную формулу, чтобы произвести выход в четырех равномерно распределенных моментах времени в промежутке каждого сделанного шага. (Можно настроить число точек с 'Refine' опция.) Строят оба решения для сравнения.

[T,Y] = ode45(@lotka,[t0 tfinal],y0);

plot(y(:,1),y(:,2),'-',Y(:,1),Y(:,2),'-');
title('Phase Plane Plot')
legend('ode23','ode45')

Figure contains an axes. The axes with title Phase Plane Plot contains 2 objects of type line. These objects represent ode23, ode45.

Результаты показывают, что решение дифференциальных уравнений с помощью различных численных методов может произвести немного отличающиеся ответы.

Смотрите также

|

Похожие темы

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте