Решение дифференциальных уравнений с частными производными

В partial differential equation (УЧП) функция, решаемая для, зависит от нескольких переменных, и дифференциальное уравнение может включать частные производные, взятые относительно каждой из переменных. Дифференциальные уравнения с частными производными полезны для моделирования волн, теплового потока, жидкой дисперсии и других явлений с пространственным поведением, которое изменяется в зависимости от времени.

Какие типы УЧП можно решить с MATLAB?

Решатель MATLAB® PDE pdepe решает начальные краевые задачи для систем УЧП в одной пространственной переменной x и время t. Можно думать о них как об ОДУ одной переменной, которые также изменяются относительно времени.

pdepe использует неофициальную классификацию для 1D уравнений, которые она решает:

  • Уравнениями с производной времени является parabolic. Примером является уравнение тепла ut=2ux2.

  • Уравнениями без производной времени является elliptic. Примером является уравнение Лапласа 2ux2=0.

pdepe требует по крайней мере одного параболического уравнения в системе. Другими словами, по крайней мере одно уравнение в системе должно включать производную времени.

pdepe также решает определенные 2D и 3-D задачи, которые уменьшают до 1D проблем из-за угловой симметрии (см. описание аргумента для симметрии постоянный m для получения дополнительной информации.

Partial Differential Equation Toolbox™ расширяет эту функциональность к обобщенным проблемам в 2D и 3-D с Дирихле и Неймановыми граничными условиями.

Решение 1D УЧП

1D УЧП включает функциональный u (x, t), который зависит от времени t и одна пространственная переменная x. Решатель УЧП MATLAB pdepe решает системы 1D параболических и эллиптических УЧП формы

c(x,t,u,ux)ut=xmx(xmf(x,t,u,ux))+s(x,t,u,ux).

Уравнение имеет свойства:

  • УЧП содержат для t 0tt f и axb.

  • Пространственный интервал [a, b] должен быть конечным.

  • m может быть 0, 1, или 2, соответствуя плите, цилиндрической, или сферической симметрии, соответственно. Если m> 0, то a ≥ 0 должен также содержать.

  • Коэффициент f(x,t,u,ux) термин потока и s(x,t,u,ux) характеристики выброса.

  • Термин потока должен зависеть от частной производной u / ∂ x.

Связь частных производных относительно времени ограничивается умножением диагональной матрицей c(x,t,u,ux). Диагональными элементами этой матрицы является или нуль или положительный. Элемент, который является нулем, соответствует эллиптическому уравнению, и любой другой элемент соответствует параболическому уравнению. Должно быть по крайней мере одно параболическое уравнение. Элемент c, который соответствует параболическому уравнению, может исчезнуть в изолированных значениях x, если они - точки mesh (точки, где решение оценено). Разрывы в c и s из-за материальных интерфейсов разрешены при условии, что точка mesh помещается в каждый интерфейс.

Процесс решения

Решить УЧП с pdepe, необходимо задать коэффициенты уравнения для c, f, и s, начальных условий, поведения решения на контурах и сетки точек, чтобы оценить решение на. Вызов функции sol = pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan) использование эта информация, чтобы вычислить решение на заданную mesh:

  • m постоянная симметрия.

  • pdefun определяет решаемые уравнения.

  • icfun задает начальные условия.

  • bcfun задает граничные условия.

  • xmesh вектор из пространственных значений для x.

  • tspan вектор из временных стоимостей для t.

Вместе, xmesh и tspan векторы формируют 2D сетку это pdepe оценивает решение на.

Уравнения

Необходимо описать УЧП в стандартной форме, ожидаемой pdepe. Написанный в этой форме, можно прочитать значения коэффициентов c, f и s.

В MATLAB можно закодировать уравнения с функцией формы

function [c,f,s] = pdefun(x,t,u,dudx)
c = 1;
f = dudx;
s = 0;
end
В этом случае pdefun определяет уравнение ut=2ux2. Если существует несколько уравнений, то c, f и s являются векторами с каждым элементом, соответствующим одному уравнению.

Начальные условия

В начальное время t = t 0, для всего x, компоненты решения удовлетворяют начальным условиям формы

u(x,t0)=u0(x).

В MATLAB можно закодировать начальные условия с функцией формы

function u0 = icfun(x)
u0 = 1;
end
В этом случае u0 = 1 задает начальное условие u 0 (x, t 0) = 1. Если существует несколько уравнений, то u0 вектор с каждым элементом, задающим начальное условие одного уравнения.

Граничные условия

За пределами x = a или x = b, для всего t, компоненты решения удовлетворяют граничным условиям формы

p(x,t,u)+q(x,t)f(x,t,u,ux)=0.

q (x, t) является диагональной матрицей с элементами, которые являются или нулем или никогда не обнуляют. Обратите внимание на то, что граничные условия описываются в терминах потока f, а не частная производная u относительно x. Кроме того, этих двух коэффициентов p (x, t, u) и q (x, t), только p может зависеть от u.

В MATLAB можно закодировать граничные условия с функцией формы

function [pL,qL,pR,qR] = bcfun(xL,uL,xR,uR,t)
pL = uL;
qL = 0;
pR = uR - 1;
qR = 0;
end
pL и qL коэффициенты для левого контура, в то время как pR и qR коэффициенты для правильного контура. В этом случае bcfun задает граничные условия

uL(xL,t)=0uR(xR,t)=1

Если существует несколько уравнений, то выходные параметры pL, qL, pR, и qR векторы с каждым элементом, задающим граничное условие одного уравнения.

Опции интегрирования

Свойства интегрирования по умолчанию в решателе УЧП MATLAB выбраны, чтобы решить типичные проблемы. В некоторых случаях можно улучшать производительность решателя путем переопределения этих значений по умолчанию. Для этого использовать odeset создать options структура. Затем передайте структуру pdepe как последний входной параметр:

sol = pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan,options)

Из опций для базового решателя ОДУ ode15s, только показанные в следующей таблице доступны для pdepe.

Категория

Имя опции

Контроль ошибок

RelTol'AbsTol' 'NormControl'

Неродной размер

InitialStep'MaxStep'

Регистрация событий

Events

Оценка решения

После того, как вы решаете уравнение с pdepe, MATLAB возвращает решение как трехмерный массив sol, где sol(i,j,k) содержит kкомпонент th решения оценен в t(i) и x(j). В общем случае можно извлечь kкомпонент решения th с командой u = sol(:,:,k).

Mesh времени, которую вы задаете, используется просто для выходных целей и не влияет на внутренние временные шаги, взятые решателем. Однако пространственная mesh, которую вы задаете, может влиять на качество и скорость решения. После решения уравнения можно использовать pdeval оценивать структуру решения, возвращенную pdepe с различной пространственной mesh.

Пример: уравнение тепла

Примером параболического УЧП является уравнение тепла в одной размерности:

ut=2ux2.

Это уравнение описывает рассеяние тепла для 0xL и t0. Цель состоит в том, чтобы решить для температуры u(x,t). Температура является первоначально ненулевой константой, таким образом, начальное условие

u(x,0)=T0.

Кроме того, температура является нулем на левом контуре, и ненулевой на правильном контуре, таким образом, граничные условия

u(0,t)=0,

u(L,t)=1.

Чтобы решить это уравнение в MATLAB, необходимо закодировать уравнение, начальные условия и граничные условия, затем выбрать подходящую mesh решения прежде, чем вызвать решатель pdepe. Или можно включать необходимые функции как локальные функции в конце файла, (как в этом примере) или сохранить их как отдельные, именованные файлы в директории на пути MATLAB.

Уравнение кода

Прежде чем можно будет закодировать уравнение, необходимо убедиться что именно в форме pdepe решатель ожидает:

c(x,t,u,ux)ut=x-mx(xmf(x,t,u,ux))+s(x,t,u,ux).

В этой форме уравнение тепла

1ut=x0x(x0ux)+0.

Таким образом, значения коэффициентов следующие:

  • m=0

  • c=1

  • f=ux

  • s=0

Значение m передается в качестве аргумента pdepe, в то время как другие коэффициенты закодированы в функции для уравнения, которое является

function [c,f,s] = heatpde(x,t,u,dudx)
c = 1;
f = dudx;
s = 0;
end

(Примечание: Все функции включены как локальные функции в конце примера.)

Условие начальной буквы кода

Начальная функция условия для уравнения тепла присваивает постоянное значение для u0. Эта функция должна принять вход для x, даже если это не использовано.

function u0 = heatic(x)
u0 = 0.5;
end

Граничные условия кода

Стандартная форма для граничных условий ожидается pdepe решатель

p(x,t,u)+q(x,t)f(x,t,u,ux)=0.

Написанный в этой форме, граничные условия для этой проблемы

u(0,t)+(0f)=0,

(u(L,t)-1)+(0f)=0.

Так значения для p и q

  • pL=uL,         qL=0.

  • pR=uR-1,qR=0.

Соответствующая функция затем

function [pl,ql,pr,qr] = heatbc(xl,ul,xr,ur,t)
pl = ul;
ql = 0;
pr = ur - 1;
qr = 0;
end

Выберите Solution Mesh

Используйте пространственную сетку 20 точек и сетку времени 30 точек. Поскольку решение быстро достигает устойчивого состояния, моменты времени рядом t=0 более близко расположены вместе, чтобы получить это поведение в выходе.

L = 1;
x = linspace(0,L,20);
t = [linspace(0,0.05,20), linspace(0.5,5,10)];

Решите уравнение

Наконец, решите уравнение с помощью симметрии m, уравнение PDE, начальное условие, граничные условия и сетки для x и t.

m = 0;
sol = pdepe(m,@heatpde,@heatic,@heatbc,x,t);

Постройте решение

Используйте imagesc визуализировать матрицу решения.

colormap hot
imagesc(x,t,sol)
colorbar
xlabel('Distance x','interpreter','latex')
ylabel('Time t','interpreter','latex')
title('Heat Equation for $0 \le x \le 1$ and $0 \le t \le 5$','interpreter','latex')

Figure contains an axes. The axes with title Heat Equation for $0 \le x \le 1$ and $0 \le t \le 5$ contains an object of type image.

Локальные функции

function [c,f,s] = heatpde(x,t,u,dudx)
c = 1;
f = dudx;
s = 0;
end
function u0 = heatic(x)
u0 = 0.5;
end
function [pl,ql,pr,qr] = heatbc(xl,ul,xr,ur,t)
pl = ul;
ql = 0;
pr = ur - 1;
qr = 0;
end

Примеры УЧП и файлы

Несколько доступных файлов в качестве примера служат превосходными начальными точками для наиболее распространенных 1D проблем УЧП. Чтобы исследовать и запустить примеры, используйте приложение Дифференциальных уравнений В качестве примера. Чтобы запустить это приложение, ввести

odeexamples

Чтобы открыть отдельный файл для редактирования, ввести

edit exampleFileName.m

Чтобы запустить пример, ввести

exampleFileName

Эта таблица содержит список доступных файлов УЧП в качестве примера.

Файл в качестве примера

Описание

Ссылка в качестве примера

pdex1

Простой УЧП, который иллюстрирует формулировку, расчет и графический вывод решения.

Решите один УЧП

pdex2

Проблема, которая включает разрывы.

Решите УЧП с разрывом

pdex3

Проблема, которая требует вычисления значений частной производной.

Решите УЧП и вычислите частные производные

pdex4

Система двух УЧП, решение которых имеет пограничные слои и в концах интервала и изменяется быстро для маленького t.

Решите систему УЧП

pdex5

Система УЧП со ступенчатыми функциями как начальные условия.

Решите систему УЧП с начальными ступенчатыми функциями условия

Ссылки

[1] Skeel, R. D. и М. Берзиньш, "Метод для Пространственной Дискретизации Параболических уравнений в Одной Пространственной переменной", SIAM Journal на Научном и Статистическом Вычислении, Издании 11, 1990, стр 1–32.

Смотрите также

| | | |

Похожие темы

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте