Этот пример решает систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которые моделируют динамику маркера, выданного в воздух [1]. Маркер моделируется как две частицы с массами и соединенный стержнем длины . Маркер выдан в воздух и впоследствии перемещается в вертикальную xy-плоскость, удовлетворяющую силе из-за силы тяжести. Стержень формирует угол с горизонталью и координатами первой массы . С этой формулировкой координаты второй массы .
Уравнения движения для системы получены путем применения уравнений Лагранжа для каждой из трех координат, , , и :
Чтобы решить эту систему ОДУ в MATLAB®, закодируйте уравнения в функцию прежде, чем вызвать решатель ode45
. Можно или включать необходимые функции как локальные функции в конце файла (как сделано здесь) или сохранить их как отдельные, именованные файлы в директории на пути MATLAB.
ode45
решатель требует, чтобы уравнения были написаны в форме , где первая производная каждой координаты. В этой проблеме вектор решения имеет шесть компонентов: , , угол , и их первые производные:
С этим обозначением можно переписать уравнения движения полностью в терминах элементов :
К сожалению, уравнения движения не помещаются в форму требуемый решателем, с тех пор существует несколько условий слева с первыми производными. Когда это происходит, необходимо использовать большую матрицу, чтобы представлять левую сторону уравнения.
С матричным обозначением можно переписать уравнения движения как система шести уравнений с помощью большой матрицы в форме . Большая матрица описывает линейные комбинации первых производных на левой стороне уравнения с матричным векторным произведением. В этой форме система уравнений становится:
От этого выражения можно записать функцию, которая вычисляет ненулевые элементы большой матрицы. Функция берет три входных параметров: и вектор решения требуются (необходимо задать эти входные параметры, даже если они не используются в теле функции), и дополнительный дополнительный вход, используемый, чтобы передать в значениях параметров. Чтобы передать параметры для этой проблемы к функции, создайте P
как структура, которая содержит значения параметров и затем использует метод, описанный в Параметризации Функций, чтобы передать структуру функции как дополнительный вход.
function M = mass(t,q,P) % Extract parameters m1 = P.m1; m2 = P.m2; L = P.L; g = P.g; % Mass matrix function M = zeros(6,6); M(1,1) = 1; M(2,2) = m1 + m2; M(2,6) = -m2*L*sin(q(5)); M(3,3) = 1; M(4,4) = m1 + m2; M(4,6) = m2*L*cos(q(5)); M(5,5) = 1; M(6,2) = -L*sin(q(5)); M(6,4) = L*cos(q(5)); M(6,6) = L^2; end
Затем можно записать функцию для правой стороны каждого из уравнений в системе . Как функция большой матрицы, эта функция берет два необходимых входных параметров для и , и один дополнительный вход для значений параметров .
function dydt = f(t,q,P) % Extract parameters m1 = P.m1; m2 = P.m2; L = P.L; g = P.g; % Equation to solve dydt = [q(2) m2*L*q(6)^2*cos(q(5)) q(4) m2*L*q(6)^2*sin(q(5))-(m1+m2)*g q(6) -g*L*cos(q(5))]; end
Во-первых, создайте структуру P
из значений параметров для , , , и путем установки соответственно названных полей в структуре. Структура P
передается большой матрице и функциям ОДУ как дополнительный вход.
P.m1 = 0.1; P.m2 = 0.1; P.L = 1; P.g = 9.81
P = struct with fields:
m1: 0.1000
m2: 0.1000
L: 1
g: 9.8100
Создайте вектор с 25 точками между 0 и 4 для отрезка времени интегрирования. Когда вы задаете вектор времен, ode45
возвращает интерполированные решения в требуемые времена.
tspan = linspace(0,4,25);
Установите начальные условия проблемы. Поскольку маркер выдан вверх под углом, используйте ненулевые значения для начальных скоростей, , , и . Для исходных положений маркер начинается в вертикальном положении, таким образом, , , и .
y0 = [0; 4; P.L; 20; -pi/2; 2];
Используйте odeset
создать структуру опций, которая ссылается на функцию большой матрицы. Поскольку решатель ожидает, что функция большой матрицы будет иметь только два входных параметров, используйте анонимную функцию, чтобы передать в параметрах P
из рабочей области.
opts = odeset('Mass',@(t,q) mass(t,q,P));
Наконец, решите систему уравнений с помощью ode45
с этими входными параметрами:
Анонимная функция для уравнений @(t,q) f(t,q,P)
Векторный tspan
из времен, где решение требуют
Векторный y0
из начальных условий
Структура опций opts
это ссылается на большую матрицу
[t,q] = ode45(@(t,q) f(t,q,P),tspan,y0,opts);
Выходные параметры от ode45
содержите решения уравнений движения на каждом требуемом временном шаге. Чтобы исследовать результаты, постройте движение маркера в зависимости от времени.
Цикл через каждую строку решения, и на каждом временном шаге, строит положение маркера. Окрасьте каждый конец маркера по-другому так, чтобы вы видели его вращение в зависимости от времени.
figure title('Motion of a Thrown Baton, Solved by ODE45'); axis([0 22 0 25]) hold on for j = 1:length(t) theta = q(j,5); X = q(j,1); Y = q(j,3); xvals = [X X+P.L*cos(theta)]; yvals = [Y Y+P.L*sin(theta)]; plot(xvals,yvals,xvals(1),yvals(1),'ro',xvals(2),yvals(2),'go') end hold off
[1] Уэллс, отважьтесь схему А. Шаума теории и проблемы лагранжевой динамики: с обработкой уравнений Эйлером движения, уравнений Гамильтона и принципа Гамильтона. Ряд схемы Шаума. Нью-Йорк: паб Schaum. Ко, 1967.
Перечисленный здесь локальные функции помощника, которые решатель ОДУ вызывает, чтобы вычислить решение. В качестве альтернативы можно сохранить эти функции как их собственные файлы в директории на пути MATLAB.
function dydt = f(t,q,P) % Equations to solve % Extract parameters m1 = P.m1; m2 = P.m2; L = P.L; g = P.g; % RHS of system of equations dydt = [q(2) m2*L*q(6)^2*cos(q(5)) q(4) m2*L*q(6)^2*sin(q(5))-(m1+m2)*g q(6) -g*L*cos(q(5))]; end %------------------------------------------------ function M = mass(t,q,P) % Mass matrix function % Extract parameters m1 = P.m1; m2 = P.m2; L = P.L; g = P.g; % Set nonzero elements in mass matrix M = zeros(6,6); M(1,1) = 1; M(2,2) = m1 + m2; M(2,6) = -m2*L*sin(q(5)); M(3,3) = 1; M(4,4) = m1 + m2; M(4,6) = m2*L*cos(q(5)); M(5,5) = 1; M(6,2) = -L*sin(q(5)); M(6,4) = L*cos(q(5)); M(6,6) = L^2; end