Местоположения средства

Для данного значения масштабного коэффициента $$N$$, предположите, что там следующие:

Эти средства находятся на отдельных целочисленных узлах решетки между 1 и $$N$$ в $$x$$ и $$y$$ направления. Чтобы средства имели отдельные местоположения, вы требуете этого $$f+w+s\le 1$$. В этом примере взять $$N=20$$, $$f=0.05$$, $$w=0.05$$, и $$s=0.1$$.

Производство и распределение

Существуют $$P$$ продукты сделаны фабриками. Взять $$P=20$$.

Спрос на каждый продукт $$p$$ в торговой точке $$s$$ $$d(s,p)$$. Спрос является количеством, которое может быть продано во временном интервале. Одно ограничение на модель состоит в том, что требование соблюдается, означая, что система производит и распределяет точно количества в спросе.

Существуют полные ограничения на каждую фабрику и каждый склад.

Предположим, что каждая торговая точка получает свои предоставления всего от одного склада. Часть проблемы должна определить самое дешевое отображение торговых точек в склады.

Затраты

Стоимость переноса продуктов от фабрики до склада, и от склада до торговой точки, зависит от расстояния между средствами, и на конкретном продукте. Если $$dist(a,b)$$ расстояние между средствами $$a$$ и $$b$$, затем стоимость поставки продукта $$p$$ между этими средствами времена расстояния стоимость транспортировки $$tcost(p)$$:

Расстояние в этом примере является расстоянием сетки, также известным $$L_1$$ расстояние. Это - сумма абсолютной разности в $$x$$ координаты и $$y$$ координаты.

Стоимость создания модуля продукта $$p$$ на фабрике $$f$$ $$pcost(f,p)$$.

Задача оптимизации

Учитывая набор местоположений средства, и требования и полные ограничения, найдите:

Эти количества должны гарантировать, что спросу удовлетворяют, и общая стоимость минимизирована. Кроме того, каждая торговая точка требуется, чтобы получать все свои продукты точно от одного склада.

Переменные и уравнения для задачи оптимизации

Контрольные переменные, означая тех, которых можно изменить в оптимизации,

Целевая функция, чтобы минимизировать

Ограничения

$$\sum _{w}x(p,f,w)\le pcap(f,p)$$ (способность фабрики).

$$\sum _{f}x(p,f,w)=\sum _s(d(s,p)\cdot y(s,w))$$ (требование соблюдается).

$$\sum _p\sum _s\frac{d(s,p)}{turn(p)}\cdot y(s,w)\le wcap(w)$$ (способность склада).

$$\sum _{w}y(s,w)=1$$ (каждая торговая точка сопоставляет в один склад).

$$x(p,f,w)\ge 0$$ (неотрицательное производство).

$$y(s,w)ϵ\{0,1\}$$ двоичный файл $$y$$).

Переменные $$x$$ и $$y$$ появитесь в цели, и ограничение функционирует линейно. Поскольку $$y$$ ограничивается целочисленными значениями, проблемой является смешано-целочисленная линейная программа (MILP).

Сгенерируйте случайную проблему: местоположения средства

Установите значения $$N$$, $$f$$, $$w$$, и $$s$$ параметры, и генерируют местоположения средства.

rng(1) % for reproducibility
N = 20; % N from 10 to 30 seems to work. Choose large values with caution.
N2 = N*N;
f = 0.05; % density of factories
w = 0.05; % density of warehouses
s = 0.1; % density of sales outlets

F = floor(f*N2); % number of factories
W = floor(w*N2); % number of warehouses
S = floor(s*N2); % number of sales outlets

xyloc = randperm(N2,F+W+S); % unique locations of facilities
[xloc,yloc] = ind2sub([N N],xyloc);

Конечно, не реалистично взять случайные местоположения для средств. Этот пример предназначается, чтобы показать методы решения, не то, как сгенерировать хорошие местоположения средства.

Постройте средства. Средства 1 через F являются фабриками, F+1 через F+W являются складами, и F+W+1 через F+W+S являются торговыми точками.

h = figure;
plot(xloc(1:F),yloc(1:F),'rs',xloc(F+1:F+W),yloc(F+1:F+W),'k*',...
    xloc(F+W+1:F+W+S),yloc(F+W+1:F+W+S),'bo');
lgnd = legend('Factory','Warehouse','Sales outlet','Location','EastOutside');
lgnd.AutoUpdate = 'off';
xlim([0 N+1]);ylim([0 N+1])

Сгенерируйте случайные мощности, затраты и требования

Сгенерируйте случайные производственные затраты, мощности, текучесть кадров и требования.

P = 20; % 20 products

% Production costs between 20 and 100
pcost = 80*rand(F,P) + 20;

% Production capacity between 500 and 1500 for each product/factory
pcap = 1000*rand(F,P) + 500;

% Warehouse capacity between P*400 and P*800 for each product/warehouse
wcap = P*400*rand(W,1) + P*400;

% Product turnover rate between 1 and 3 for each product
turn = 2*rand(1,P) + 1;

% Product transport cost per distance between 5 and 10 for each product
tcost = 5*rand(1,P) + 5;

% Product demand by sales outlet between 200 and 500 for each
% product/outlet
d = 300*rand(S,P) + 200;

Эти случайные требования и мощности могут привести к неосуществимым проблемам. Другими словами, иногда спрос превышает производство и складские полные ограничения. Если вы измените некоторые параметры и получите неосуществимую проблему, во время решения вы получите exitflag-2.

Сгенерируйте переменные и ограничения

Чтобы начать задавать проблему, сгенерируйте массивы расстояния distfw(i,j) и distsw(i,j).

distfw = zeros(F,W); % Allocate matrix for factory-warehouse distances
for ii = 1:F
    for jj = 1:W
        distfw(ii,jj) = abs(xloc(ii) - xloc(F + jj)) + abs(yloc(ii) ...
            - yloc(F + jj));
    end
end

distsw = zeros(S,W); % Allocate matrix for sales outlet-warehouse distances
for ii = 1:S
    for jj = 1:W
        distsw(ii,jj) = abs(xloc(F + W + ii) - xloc(F + jj)) ...
            + abs(yloc(F + W + ii) - yloc(F + jj));
    end
end

Создайте переменные для задачи оптимизации. x представляет производство, непрерывную переменную, с размерностью P- F- WY представляет бинарное выделение торговой точки в склад, S- W переменная.

x = optimvar('x',P,F,W,'LowerBound',0);
y = optimvar('y',S,W,'Type','integer','LowerBound',0,'UpperBound',1);

Теперь создайте ограничения. Первое ограничение является полным ограничением на производство.

capconstr = sum(x,3) <= pcap';

Следующее ограничение состоит в том, что требование соблюдается при каждой торговой точке.

demconstr = squeeze(sum(x,2)) == d'*y;

Существует полное ограничение в каждом складе.

warecap = sum(diag(1./turn)*(d'*y),1) <= wcap';

Наконец, существует требование, чтобы каждая торговая точка соединилась точно с одним складом.

salesware = sum(y,2) == ones(S,1);

Создайте проблему и цель

Создайте задачу оптимизации.

factoryprob = optimproblem;

Целевая функция имеет три части. Первая часть является суммой производственных затрат.

objfun1 = sum(sum(sum(x,3).*(pcost'),2),1);

Вторая часть является суммой транспортных расходов от фабрик до складов.

objfun2 = 0;
for p = 1:P
    objfun2 = objfun2 + tcost(p)*sum(sum(squeeze(x(p,:,:)).*distfw));
end

Третья часть является суммой транспортных расходов от складов до торговых точек.

r = sum(distsw.*y,2); % r is a length s vector
v = d*(tcost(:));
objfun3 = sum(v.*r);

Целевая функция, чтобы минимизировать является суммой этих трех частей.

factoryprob.Objective = objfun1 + objfun2 + objfun3;

Включайте ограничения в проблему.

factoryprob.Constraints.capconstr = capconstr;
factoryprob.Constraints.demconstr = demconstr;
factoryprob.Constraints.warecap = warecap;
factoryprob.Constraints.salesware = salesware;

Решите задачу

Выключите итеративное отображение так, чтобы вы не получали сотни линий выхода. Включайте функцию построения графика, чтобы контролировать прогресс решения.

opts = optimoptions('intlinprog','Display','off','PlotFcn',@optimplotmilp);

Вызовите решатель, чтобы найти решение.

[sol,fval,exitflag,output] = solve(factoryprob,'options',opts);

if isempty(sol) % If the problem is infeasible or you stopped early with no solution
    disp('The solver did not return a solution.')
    return % Stop the script because there is nothing to examine
end

Исследуйте решение

Исследуйте выходной флаг и недопустимость решения.

exitflag

exitflag = 
    OptimalSolution

infeas1 = max(max(infeasibility(capconstr,sol)))

infeas1 = 9.0949e-13

infeas2 = max(max(infeasibility(demconstr,sol)))

infeas2 = 8.0718e-12

infeas3 = max(infeasibility(warecap,sol))

infeas3 = 0

infeas4 = max(infeasibility(salesware,sol))

infeas4 = 2.4425e-15

Вокруг y фрагмент решения быть точно с целочисленным знаком. Чтобы изучить, почему эти переменные не могут быть точно целыми числами, смотрите, что Некоторые “Целочисленные” Решения Не Являются Целыми числами.

sol.y = round(sol.y); % get integer solutions

Сколько торговых точек сопоставлено с каждым складом? Заметьте, что в этом случае некоторые склады имеют 0 связанных выходов, означая, что склады не используются в оптимальном решении.

outlets = sum(sol.y,1)

outlets = 1×20

     2     0     3     2     2     2     3     2     3     2     1     0     0     3     4     3     2     3     2     1

Постройте связь между каждой торговой точкой и ее складом.

figure(h);
hold on
for ii = 1:S
    jj = find(sol.y(ii,:)); % Index of warehouse associated with ii
    xsales = xloc(F+W+ii); ysales = yloc(F+W+ii);
    xwarehouse = xloc(F+jj); ywarehouse = yloc(F+jj);
    if rand(1) < .5 % Draw y direction first half the time
        plot([xsales,xsales,xwarehouse],[ysales,ywarehouse,ywarehouse],'g--')
    else % Draw x direction first the rest of the time
        plot([xsales,xwarehouse,xwarehouse],[ysales,ysales,ywarehouse],'g--')
    end
end
hold off

title('Mapping of sales outlets to warehouses')

Черный цвет * без зеленых линий представляет неиспользованные склады.