Этот пример показывает эффекты некоторых настроек опции на разреженной, связано ограниченной, положительной определенной квадратичной проблеме.
Создайте квадратичный матричный H как трехдиагональная симметрическая матрица размера 400 400 с записями +4 на основной диагонали и –2 на вне диагоналей.
Bin = -2*ones(399,1); H = spdiags(Bin,-1,400,400); H = H + H'; H = H + 4*speye(400);
Установите границы [0,0.9] в каждом компоненте кроме 400-го. Позвольте 400-му компоненту быть неограниченным.
lb = zeros(400,1); lb(400) = -inf; ub = 0.9*ones(400,1); ub(400) = inf;
Установите линейный векторный f к нулям, кроме набора f(400) = –2.
f = zeros(400,1); f(400) = -2;
Решите квадратичную программу с помощью 'trust-region-reflective' алгоритм.
options = optimoptions('quadprog','Algorithm',"trust-region-reflective"); tic [x1,fval1,exitflag1,output1] = ... quadprog(H,f,[],[],[],[],lb,ub,[],options);
Local minimum possible. quadprog stopped because the relative change in function value is less than the function tolerance.
time1 = toc
time1 = 0.1044
Исследуйте решение.
fval1,exitflag1,output1.iterations,output1.cgiterations
fval1 = -0.9930
exitflag1 = 3
ans = 18
ans = 1682
Алгоритм сходится в относительно немногих итерациях, но принимает 1 000 сг (метод сопряженных градиентов) итерации. Чтобы избежать итераций CG, установите опции использовать прямой решатель вместо этого.
options = optimoptions(options,'SubproblemAlgorithm','factorization'); tic [x2,fval2,exitflag2,output2] = ... quadprog(H,f,[],[],[],[],lb,ub,[],options);
Local minimum possible. quadprog stopped because the relative change in function value is less than the function tolerance.
time2 = toc
time2 = 0.0185
fval2,exitflag2,output2.iterations,output2.cgiterations
fval2 = -0.9930
exitflag2 = 3
ans = 10
ans = 0
На этот раз алгоритм берет меньше итераций и никакие итерации CG. Время решения уменьшается существенно, несмотря на относительно длительные прямые шаги факторизации, потому что решатель старается не делать много шагов CG.
'interior-point-convex' по умолчанию алгоритм может решить эту задачу.
tic [x3,fval3,exitflag3,output3] = ... quadprog(H,f,[],[],[],[],lb,ub); % No options means use the default algorithm
Minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance. <stopping criteria details>
time3 = toc
time3 = 0.0402
fval3,exitflag3,output3.iterations
fval3 = -0.9930
exitflag3 = 1
ans = 8
Все алгоритмы дают то же значение целевой функции точности отображения, –0.9930.
'interior-point-convex' алгоритм берет наименьшее количество итераций. Однако 'trust-region-reflective' алгоритм с прямым подрешателем задач достигает самого быстрого решения.
tt = table([time1;time2;time3],[output1.iterations;output2.iterations;output3.iterations],... 'VariableNames',["Time" "Iterations"],'RowNames',["TRR" "TRR Direct" "IP"])
tt=3×2 table
Time Iterations
________ __________
TRR 0.10443 18
TRR Direct 0.018544 10
IP 0.040204 8