Поместите уравнения в форму расхождения

Коэффициент, соответствующий для формы расхождения

Как объяснено в уравнениях Можно Решить Используя Тулбокс УЧП, решатели Partial Differential Equation Toolbox™ обращаются к уравнениям формы

(cu)+au=f

или варианты, которые имеют производные относительно времени, или которые имеют собственные значения, или системы уравнений. Эти уравнения находятся в divergence form, где дифференциальный оператор начинается ·. Коэффициенты a, c и f являются функциями положения (x, y, z) и возможно решения u.

Однако у вас могут быть уравнения в форме со всеми производными, явным образом расширенными, такой как

(1+x2)2ux23xy2uxy+(1+y2)22uy2=0

Для того, чтобы преобразовать это расширенное уравнение в необходимую форму, можно попытаться соответствовать, коэффициенты уравнения в расхождении формируются к расширенной форме. В форме расхождения, если

c=(c1c3c2c4)

то

·(cu)=c1uxx+(c2+c3)uxy+c4uyy+(c1x+c2y)ux+(c3x+c4y)uy

Соответствие с коэффициентами в uxx и uyy называет в (cu) к уравнению вы добираетесь

c1=(1+x2)c4=(1+y2)/2

Затем смотря на коэффициенты ux и uy, который должен быть нулем, вы добираетесь

(c1x+c2y)=2x+c2yтакc2=2xy.(c3x+c4y)=c3xyтакc3=xy

Это завершает преобразование уравнения к форме расхождения

(cu)=0

Граничные условия Могут Влиять на c Коэффициент

c коэффициент появляется в обобщенном Неймановом условии

n·(cu)+qu=g

Таким образом, когда вы выводите форму расхождения c коэффициент, имейте в виду, что этот коэффициент появляется в другом месте.

Например, рассмотрите 2D уравнение Poisson uxx – uyy = f. Очевидно, можно взять c = 1. Но существуют другие матрицы c, которые приводят к тому же уравнению: любой, которые имеют c (2) + c (3) = 0.

·(cu)=·((c1c3c2c4)(uxuy))=x(c1ux+c3uy)+y(c2ux+c4uy)=c1uxx+c4uyy+(c2+c3)uxy

Таким образом, существует свобода в выборе матрицы c. Если у вас есть Нейманово граничное условие такой как

n·(cu)=2

граничное условие зависит, на которой версии c вы используете. В этом случае убедитесь, что вы берете версию c, который совместим и с уравнением и с граничным условием.

Содействующее преобразование с Symbolic Math Toolbox

Можно преобразовать дифференциальное уравнение с частными производными в необходимую форму при помощи Symbolic Math Toolbox™. Тулбокс предлагает эти две функции, чтобы помочь с преобразованием:

  • pdeCoefficients (Symbolic Math Toolbox) преобразует УЧП в необходимую форму и извлекает коэффициенты в структуру чисел с двойной точностью и указателей на функцию, которые могут использоваться specifyCoefficients. pdeCoefficients функция также может возвратить структуру символьных выражений, в этом случае необходимо преобразовать эти выражения, чтобы удвоить формат прежде, чем передать их specifyCoefficients.

  • pdeCoefficientsToDouble (Symbolic Math Toolbox) преобразует символьные коэффициенты УЧП, чтобы удвоить формат.

Решите Дифференциальное уравнение с частными производными Нелинейной Теплопередачи (Symbolic Math Toolbox), показывает, как функции Symbolic Math Toolbox могут помочь вам преобразовать УЧП в необходимую форму. Нелинейная Теплопередача в Тонкой Пластине показывает тот же пример без использования Symbolic Math Toolbox.

Некоторые уравнения не могут быть преобразованы

Иногда не возможно найти преобразование в форму расхождения таким как

(cu)+au=f

Например, рассмотрите уравнение

2ux2+cos(x+y)42uxy+122uy2=0

Простым содействующим соответствием вы видите, что коэффициенты c 1 и c 4 –1 и –1/2 соответственно. Однако нет никакого c 2 и c 3, которые удовлетворяют остающимся уравнениям,

c2+c3=cos(x+y)4c1x+c2y=c2y=0c3x+c4y=c3x=0

Похожие темы

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте