Неопределенная модель гибкого луча

Рисунок 1 изображает активную систему управления вибрации для гибкого луча.

Рисунок 1: Активное управление гибкого луча

В этой настройке датчик измеряет положение совета $$y(t)$$ и привод является пьезоэлектрической закрашенной фигурой, обеспечивающей силу $$u(t)$$. Мы можем смоделировать передаточную функцию от входа управления $$u$$ снабжать подсказкой положение $$y$$ использование анализа конечных элементов. Сохраняя только первые шесть режимов, мы получаем модель объекта управления формы

со следующей номинальной стоимостью для амплитуд $${\alpha }_i$$ и собственные частоты $${\omega }_i$$:

Коэффициенты затухания $${\zeta }_i$$ часто малоизвестны и приняты, чтобы расположиться между 0,0002 и 0.02. Точно так же собственные частоты только приблизительно известны, и мы принимаем 20%-ю неопределенность на их местоположении. Чтобы создать неопределенную модель гибкого луча, используйте ureal объект указать диапазон неопределенности для затухания и собственных частот. Чтобы упростить, мы принимаем, что все режимы имеют тот же коэффициент затухания $$\zeta$$.

% Damping factor
zeta = ureal('zeta',0.002,'Range',[0.0002,0.02]);

% Natural frequencies
w1 = ureal('w1',18.95,'Percent',20);
w2 = ureal('w2',118.76,'Percent',20);
w3 = ureal('w3',332.54,'Percent',20);
w4 = ureal('w4',651.66,'Percent',20);
w5 = ureal('w5',1077.2,'Percent',20);
w6 = ureal('w6',1609.2,'Percent',20);

Затем объедините эти неопределенные коэффициенты в выражение для $$G(s)$$.

alpha = [9.72e-4 0.0122 0.0012 -0.0583 -0.0013 0.1199];
G = tf(alpha(1),[1 2*zeta*w1 w1^2]) + tf(alpha(2),[1 2*zeta*w2 w2^2]) + ...
    tf(alpha(3),[1 2*zeta*w3 w3^2]) + tf(alpha(4),[1 2*zeta*w4 w4^2]) + ...
    tf(alpha(5),[1 2*zeta*w5 w5^2]) + tf(alpha(6),[1 2*zeta*w6 w6^2]);
G.InputName = 'uG';  G.OutputName = 'y';

Визуализируйте удар неопределенности на передаточной функции от $$u$$ к $$y$$. bode функционируйте автоматически показывает ответы для 20 случайным образом выбранных значений неопределенных параметров.

rng(0), bode(G,{1e0,1e4}), grid
title('Uncertain beam model')

Устойчивое управление LQG

Управление LQG является естественной формулировкой для активного управления вибрацией. С systune, вы не ограничиваетесь полным порядком оптимальный контроллер LQG и можете настроить контроллеры любого порядка. Здесь, например, давайте настроим контроллер пространства состояний 6-го порядка (половина порядка объекта).

C = tunableSS('C',6,1,1);

Настройка управления LQG изображена в рисунке 2. Сигналы $$d$$ и $$n$$ шум процесса и измерения, соответственно.

Рисунок 2: структура управления LQG

Создайте модель с обратной связью блок-схемы в рисунке 2.

C.InputName = 'yn';  C.OutputName = 'u';
S1 = sumblk('yn = y + n');
S2 = sumblk('uG = u + d');
CL0 = connect(G,C,S1,S2,{'d','n'},{'y','u'});

Обратите внимание на то, что CL0 зависит от обоих настраиваемый контроллер C и неопределенное затухание и собственные частоты.

CL0

CL0 =

  Generalized continuous-time state-space model with 2 outputs, 2 inputs, 18 states, and the following blocks:
    C: Tunable 1x1 state-space model, 6 states, 1 occurrences.
    w1: Uncertain real, nominal = 18.9, variability = [-20,20]%, 3 occurrences
    w2: Uncertain real, nominal = 119, variability = [-20,20]%, 3 occurrences
    w3: Uncertain real, nominal = 333, variability = [-20,20]%, 3 occurrences
    w4: Uncertain real, nominal = 652, variability = [-20,20]%, 3 occurrences
    w5: Uncertain real, nominal = 1.08e+03, variability = [-20,20]%, 3 occurrences
    w6: Uncertain real, nominal = 1.61e+03, variability = [-20,20]%, 3 occurrences
    zeta: Uncertain real, nominal = 0.002, range = [0.0002,0.02], 6 occurrences

Type "ss(CL0)" to see the current value, "get(CL0)" to see all properties, and "CL0.Blocks" to interact with the blocks.

Используйте критерий LQG в качестве цели управления. Эта настраивающая цель позволяет вам задать шумовые ковариации и веса на переменных эффективности.

R = TuningGoal.LQG({'d','n'},{'y','u'},diag([1,1e-10]),diag([1 1e-12]));

Теперь настройте контроллер C минимизировать стоимость LQG в целой области значений неопределенности.

[CL,fSoft,~,Info] = systune(CL0,R);

Soft: [5.63e-05,Inf], Hard: [-Inf,Inf], Iterations = 72
Soft: [6.13e-05,Inf], Hard: [-Inf,Inf], Iterations = 97
Soft: [6.47e-05,Inf], Hard: [-Inf,Inf], Iterations = 65
Soft: [7.76e-05,Inf], Hard: [-Inf,Inf], Iterations = 86
Soft: [7.76e-05,Inf], Hard: [-Inf,Inf], Iterations = 88
Soft: [7.76e-05,Inf], Hard: [-Inf,Inf], Iterations = 43
Soft: [7.77e-05,Inf], Hard: [-Inf,Inf], Iterations = 79
Soft: [7.8e-05,8.46e-05], Hard: [-Inf,-Inf], Iterations = 38
Soft: [8.02e-05,8.85e-05], Hard: [-Inf,-Inf], Iterations = 117
Soft: [8.22e-05,8.24e-05], Hard: [-Inf,-Inf], Iterations = 40
Soft: [8.22e-05,8.22e-05], Hard: [-Inf,-Inf], Iterations = 25
Final: Soft = 8.22e-05, Hard = -Inf, Iterations = 750

Валидация

Сравните открытое - и с обратной связью Предвещают ответы от $$d$$ к $$y$$ для 20 случайным образом выбранных значений неопределенных параметров. Отметьте, как контроллер отсекает первые три peaks в Предвещать ответе.

Tdy = getIOTransfer(CL,'d','y');
bode(G,Tdy,{1e0,1e4})
title('Transfer from disturbance to tip position')
legend('Open loop','Closed loop')

Затем постройте открытое - и ответы с обратной связью на импульсное воздействие $$d$$. Для удобочитаемости ответ разомкнутого контура построен только для номинального объекта.

impulse(getNominal(G),Tdy,5)
title('Response to impulse disturbance d')
legend('Open loop','Closed loop')

Наконец, systune также обеспечивает понимание комбинаций худшего случая значений собственной частоты и затухания. Эта информация доступна в выходном аргументе Info.

WCU = Info.wcPert

WCU=10×1 struct array with fields:
    w1
    w2
    w3
    w4
    w5
    w6
    zeta

Используйте эти данные, чтобы построить импульсную характеристику для этих двух худших вариантов.

impulse(usubs(Tdy,WCU),5)
title('Worst-case response to impulse disturbance d')