Приложения LMI

Нахождение решения x системы LMI

A (x) < 0(1)

называется feasibility problem. Минимизация выпуклой цели при ограничениях LMI является также выпуклой проблемой. В частности, линейная объективная проблема минимизации:

Минимизируйте cTx, удовлетворяющий

A (x) < 0(2)

играет важную роль в основанном на LMI проекте. Наконец, обобщенная проблема минимизации собственного значения

Минимизируйте λ, удовлетворяющий

A(x)<λB(x)B(x)>0C(x)>0(3)

квазивыпукло и может быть решен подобными методами. Это должно свое имя к факту, который связан с самым большим обобщенным собственным значением карандаша ((x), B (x)).

Много проблем управления и технических требований проекта имеют формулировки LMI [9]. Это особенно верно для находящегося в Lyapunov анализа и проектирования, но также и для оптимального управления LQG, H управление, управление ковариацией, и т.д. Дальнейшие приложения LMIs возникают по оценке, идентификации, оптимальному проекту, проектированию конструкций [6], [7], матричным проблемам масштабирования, и так далее. Основная сила формулировок LMI является способностью объединить различные конструктивные ограничения или цели численно послушным способом.

Неисчерпывающий список проблем, решенных методами LMI, включает следующее:

  • Устойчивая устойчивость систем с неопределенностью LTI (µ-analysis) ([24], [21], [27])

  • Устойчивая устойчивость перед лицом ограниченной сектором нелинейности (критерий Попова) ([22], [28], [13], [16])

  • Квадратичная устойчивость дифференциальных включений ([15], [8])

  • Устойчивость Ляпунова зависимых параметром систем ([12])

  • Вход/состояние/выходные свойства систем LTI (инвариантные эллипсоиды, уровень затухания, и т.д.) ([9])

  • Проект обратной связи состояния мультимодели/мультиобъективный ([4], [17], [3], [9], [10])

  • Устойчивое размещение полюса

  • Оптимальное управление LQG ([9])

  • Устойчивый H управление ([11], [14])

  • Многоцелевой H синтез ([18], [23], [10], [18])

  • Проект устойчивых запланированных на усиление контроллеров ([5], [2])

  • Управление стохастических систем ([9])

  • Взвешенные проблемы интерполяции ([9])

Чтобы намекнуть на принципы, лежащие в основе проекта LMI, давайте рассмотрим формулировки LMI нескольких типичных целей проекта.

Устойчивость

Устойчивость динамической системы

x˙=Ax

эквивалентно выполнимости следующей проблемы:

Найдите P = PT таким образом что AT P + P <0, P> я.

Это может быть обобщено к линейным дифференциальным включениям (LDI)

x˙=A(t)x

где (t) варьируется по выпуклому конверту набора моделей LTI:

A(t)Co{A1,,An}={i=1naiAi:ai0,i=1Nai=1}.

Достаточное условие для асимптотической устойчивости этого LDI является выполнимостью

Найдите P = PT таким образом что AiTP+PAi<0,P>I.

Усиление RMS

Усиление случайных средних квадратичных (RMS) устойчивой системы LTI

{x˙=Ax+Buy=Cx+Du

самое большое усиление ввода/вывода по всем ограниченным входным параметрам u (t). Это усиление является глобальным минимумом следующей линейной объективной проблемы минимизации [1], [25], [26].

Минимизируйте γ более чем X = XT и γ, таким образом что

(ATX+XAXBCTBTXγIDTCDγI)<0

и

X>0.

Эффективность LQG

Для устойчивой системы LTI

G{x˙=Ax+Bwy=Cx

где w является белым шумовым воздействием с модульной ковариацией, эффективность LQG или H2 ∥G∥2 задана

G22:=limTE{1T0TyT(t)y(t)dt}=12πGH(jω)G(jω)dω.

Этому можно показать это

G22=inf{Trace(CPCT):AP+PAT+BBT<0}.

Следовательно G22 глобальный минимум проблемы LMI. Минимизируйте Трассировку (Q) по симметричным матрицам P, Q, таким образом что

AP+PAT+BBT<0

и

(QCPPCTP)>0.

Снова это - линейная объективная проблема минимизации, поскольку объективная Трассировка (Q) линейна в переменных решения (свободные входы P, Q).

Похожие темы

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте