Обнаружьте близко расположенные синусоиды

Скрипт Open Live Script

Рассмотрите синусоиду, $f (x) = e^{j 2 π ν x}$ , оконный с окном Gaussian, $g (t) = e^{- π t^{2}}$ . Кратковременное преобразование

$V_{g} f (t, η) = e^{j 2 π ν t} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- π (x - t)^{2}} e^{- j 2 π (x - t) (η - ν)} d x = e^{- π (η - ν)^{2}} e^{j 2 π ν t} .$

Когда просматривается в зависимости от частоты, преобразование комбинирует константу (вовремя) колебание в $ν$ с Гауссовым затуханием далеко от него. synchrosqueezing оценка мгновенной частоты,

$Ω_{g} f (t, η) = \frac{1}{j 2 π} \frac{e^{- π (η - ν)^{2}} \frac{\partial}{\partial t} e^{j 2 π ν t}}{e^{- π (η - ν)^{2}} e^{j 2 π ν t}} = ν,$

равняется значению, полученному при помощи стандартного определения, $(2 π)^{- 1} d \arg f (x) / d x$ . Для суперпозиции синусоид,

$f (x) = \sum_{k = 1}^{K} A_{k} e^{j 2 π ν_{k} x},$

кратковременное преобразование становится

$V_{g} f (t, η) = \sum_{k = 1}^{K} A_{k} e^{- π (η - ν_{k})^{2}} e^{j 2 π ν_{k} t} .$

Создайте 1 024 выборки сигнала, состоящего из двух синусоид. Одна синусоида имеет нормированную частоту $ω_{0} = π / 5$ рад/отсчет. Другая синусоида имеет три раза частоту и три раза амплитуду.

N = 1024;
n = 0:N-1;

w0 = pi/5;
x = exp(1j*w0*n)+3*exp(1j*3*w0*n);

Вычислите кратковременное преобразование Фурье сигнала. Используйте окно Gaussian с 256 выборками с $α = 20$ , 255 выборок перекрытия между смежными разделами и точки ДПФ 10:24. Постройте абсолютное значение преобразования.

Nw = 256;
nfft = 1024;
alpha = 20;

[s,w,t] = spectrogram(x,gausswin(Nw,alpha),Nw-1,nfft,'centered');

surf(t,w/pi,abs(s),'EdgeColor','none')
view(2)
axis tight
xlabel('Samples')
ylabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type surface.

Synchrosqueezed преобразование Фурье приводит к более резкой, лучшей локализованной оценке спектра.

[ss,sw,st] = fsst(x,[],gausswin(Nw,alpha));

fsst(x,'yaxis')

Figure contains an axes. The axes with title Fourier Synchrosqueezed Transform contains an object of type image.

Синусоиды отображаются как постоянные колебания в ожидаемых значениях частоты. Чтобы видеть, что затухание далеко от гребней является Гауссовым, постройте мгновенное значение преобразования и наложите два экземпляра Гауссова. Опишите Гауссово амплитудное и стандартное отклонение в терминах $α$ и длина окна. Вспомните, что стандартное отклонение окна частотного диапазона является обратной величиной стандартного отклонения окна временного интервала.

rstdev = (Nw-1)/(2*alpha);
amp = rstdev*sqrt(2*pi);

instransf = abs(s(:,128));

plot(w/pi,instransf)
hold on
plot(w/pi,[1 3]*amp.*exp(-rstdev^2/2*(w-[1 3]*w0).^2),'--')
hold off
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)')
lg = legend('Transform','First sinusoid','Second sinusoid');
lg.Location = 'best';

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type line. These objects represent Transform, First sinusoid, Second sinusoid.

Synchrosqueezed преобразование Фурье концентрирует энергетическое содержимое сигнала на предполагаемых мгновенных частотах.

stem(sw/pi,abs(ss(:,128)))
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)')
title('Synchrosqueezed Transform')

Figure contains an axes. The axes with title Synchrosqueezed Transform contains an object of type stem.

synchrosqueezed оценки мгновенной частоты допустимы, только если синусоиды разделяются больше, чем $2 Δ$ , где

$Δ = \frac{1}{σ} \sqrt{2 \log 2}$

для окна Gaussian и $σ$ стандартное отклонение.

Повторите предыдущее вычисление, но теперь укажите, что вторая синусоида имеет нормированную частоту $ω_{0} + 1.9 Δ$ рад/отсчет.

D = sqrt(2*log(2))/rstdev;

w1 = w0+1.9*D;

x = exp(1j*w0*n)+3*exp(1j*w1*n);

[s,w,t] = spectrogram(x,gausswin(Nw,alpha),Nw-1,nfft,'centered');
instransf = abs(s(:,20));

plot(w/pi,instransf)
hold on
plot(w/pi,[1 3]*amp.*exp(-rstdev^2/2*(w-[w0 w1]).^2),'--')
hold off
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)')
lg = legend('Transform','First sinusoid','Second sinusoid');
lg.Location = 'best';

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type line. These objects represent Transform, First sinusoid, Second sinusoid.

Synchrosqueezed преобразование Фурье не может разрешить синусоиды хорошо потому что $| ω_{1} - ω_{0} | < 2 Δ$ . Спектральные оценки значительно уменьшаются в значении.

[ss,sw,st] = fsst(x,[],gausswin(Nw,alpha));

stem(sw/pi,abs(ss(:,128)))
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)')
title('Synchrosqueezed Transform')

Figure contains an axes. The axes with title Synchrosqueezed Transform contains an object of type stem.

Документация

Обнаружьте близко расположенные синусоиды

Смотрите также

Похожие темы

Документация Signal Processing Toolbox

Поддержка