Преобразование Уолша-Адамара является несинусоидальным, ортогональным методом преобразования, который разлагает сигнал на набор основных функций. Эти основные функции являются функциями Уолша, которые являются прямоугольными или прямоугольными волнами со значениями +1 или –1. Преобразования Уолша-Адамара также известны как Адамара (см. hadamard функция в программном обеспечении MATLAB), Уолш или преобразования Фурье Уолша.
Первые восемь функций Уолша имеют эти значения:
| Индекс | Значения функции Уолша |
|---|---|
| 0 | 1 1 1 1 1 1 1 1 |
| 1 | 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 |
| 2 | 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 |
| 3 | 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 |
| 4 | 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 |
| 5 | 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 |
| 6 | 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 |
| 7 | 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 |
Преобразование Уолша-Адамара возвращает sequency значения. Sequency является более обобщенным понятием частоты и задан как одна половина среднего количества нулевых пересечений на интервал единицы времени. Каждая функция Уолша имеет уникальное sequency значение. Можно использовать возвращенные sequency значения, чтобы оценить частоты сигнала в исходном сигнале.
Три различных схемы упорядоченного расположения используются, чтобы сохранить функции Уолша: sequency, Адамар, и двухместный. Упорядоченное расположение Sequency, которое используется в приложениях обработки сигналов, имеет функции Уолша в порядке, показанном в приведенной выше таблице. Адамар, заказывающий, который используется в приложениях средств управления, располагает их как 0, 4, 6, 2, 3, 7, 5, 1. Упорядоченное расположение двухместного или кода Грея, которое используется в математике, располагает их как 0, 1, 3, 2, 6, 7, 5, 4.
Преобразование Уолша-Адамара используется во многих приложениях, таких как обработка изображений, речевая обработка, фильтрация и анализ спектра мощности. Это очень полезно для сокращения требований устройства хранения данных пропускной способности и анализа спектра распространения. Как БПФ, Преобразование Уолша-Адамара имеет быструю версию, быстрое Преобразование Уолша-Адамара (fwht). По сравнению с БПФ FWHT требует меньшего пространства памяти и быстрее, чтобы вычислить, потому что это использует только действительные сложения и вычитания, в то время как БПФ требует комплексных чисел. FWHT может представлять сигналы резкими разрывами более точно с помощью меньшего количества коэффициентов, чем БПФ. И FWHT и обратный FWHT (ifwht) симметричны и таким образом, используют идентичные процессы вычисления. FWHT и IFWHT для x сигнала (t) длины N заданы как:
где i = 0,1, …, N – 1 и WAL (n, i) является функциями Уолша. Подобно алгоритму Cooley-Tukey для БПФ элементы N разложены на два набора N/2 элементы, которые затем объединены с помощью структуры бабочки, чтобы сформировать FWHT. Для изображений, где вход обычно является 2D сигналом, коэффициенты FWHT вычисляются первой оценкой через строки и затем оценкой вниз столбцы.
Для следующего простого сигнала получившийся FWHT показывает тот x был создан с помощью функций Уолша с sequency значениями 0, 1, 3, и 6, которые являются ненулевыми индексами преобразованного x. Обратный FWHT воссоздает исходный сигнал.
x = [4 2 2 0 0 2 -2 0] y = fwht(x)
x =
4 2 2 0 0 2 -2 0
y =
1 1 0 1 0 0 1 0x1 = ifwht(y)
x1 =
4 2 2 0 0 2 -2 0