Иерархические модели многочлена

Результатом переменной отклика может иногда быть один из ограниченного набора возможных значений. Если существует только два возможных исхода, такие как штекер и розетка для пола, эти ответы называются бинарными ответами. Если существует несколько результатов, то они называются polytomous ответами. Эти ответы являются обычно качественными, а не количественными, такими как предпочтенные районы, которые будут жить в городе, уровне серьезности болезни, разновидностей для определенного цветочного типа, и так далее. Ответы Polytomous могут также иметь категории, которые весьма зависимы друг из друга. Вместо этого ответ происходит последовательным способом, или одна категория вкладывается в предыдущей. Эти типы ответов называются иерархическими, или последовательными, или вложенными ответами многочлена.

Например, если ответ является количеством сигарет, человек курит в данный день, первый уровень - является ли человек курильщиком или нет. Учитывая, что он - курильщик, количество сигарет, которые он курит, может быть от один до пять или больше, чем пять в день. Учитывая, что это - больше чем 5, этот человек может курить от 6 до 10 или больше, чем 10 сигарет в день и так далее. Группа риска на каждом уровне изменяется соответственно. На уровне один, группа риска является всеми индивидуумами интереса (курильщик или не), скажите m. Если из индивидуумов m, y ₁ из них не является курильщиками, то на уровне два, группа риска является количеством всех курящих индивидуумов, m – y ₁. Если y ₂ из них m – y_{, который 1} индивидуум курит от одной до пяти сигарет в день, то на уровне три, группой риска является m – y ₁ – y ₂. Так, на каждом уровне количество людей в той категории становится условным биномиальным наблюдением.

Иерархические модели регрессии многочлена являются расширениями бинарных моделей регрессии на основе условных бинарных наблюдений. Значением по умолчанию является модель с различной точкой пересечения и наклонами (коэффициенты) среди категорий, в этом случае mnrfit соответствует последовательности условных биномиальных моделей. 'interactions','on' пара "имя-значение" задает это в mnrfit. Функция ссылки по умолчанию является логитом и 'link','logit' пара "имя-значение" задает эту модель в mnrfit.

Предположим вероятность, что индивидуум находится в категории j, учитывая, что он не находится в предыдущих категориях, _πj и интегральная вероятность, что ответ принадлежит категории, j или предыдущая категория являются P (y ≤ c _j). Затем иерархическая модель с функцией ссылки логита и различным предположением наклонов

$\begin{array}{l} \ln (\frac{π_{1}}{1 - P (y \leq c_{1})}) = \ln (\frac{π_{1}}{1 - π_{1}}) = α_{1} + β_{11} X_{1} + β_{12} X_{2} + \dots + β_{1 p} X_{p}, \\ \ln (\frac{π_{2}}{1 - P (y \leq c_{2})}) = \ln (\frac{π_{2}}{1 - (π_{1} + π_{2})}) = α_{2} + β_{21} X_{2} + β_{22} X_{2} + \dots + β_{2 p} X_{p}, \\ ⋮ \\ \ln (\frac{π_{k - 1}}{1 - P (y \leq c_{k - 1})}) = \ln (\frac{π_{k - 1}}{1 - (π_{1} + \dots + π_{k - 1})}) = α_{k - 1} + β_{(k - 1) 1} X_{1} + β_{(k - 1) 2} X_{2} + \dots + β_{(k - 1) p} X_{p} . \end{array}$

Например, для переменной отклика с четырьмя последовательными категориями, существуют 4 – 1 = 3 уравнения можно следующим образом:

$\begin{array}{l} \ln (\frac{π {}_{1}}{π {}_{2}+ π {}_{3}+ π {}_{4}}) = α_{1} + β_{11} X_{1} + β_{12} X_{2} + \dots + β_{1 p} X_{p}, \\ \ln (\frac{π {}_{2}}{π {}_{3}+ π {}_{4}}) = α_{2} + β_{21} X_{1} + β_{22} X_{2} + \dots + β_{2 p} X_{p}, \\ \ln (\frac{π {}_{3}}{π {}_{4}}) = α_{3} + β_{31} X_{1} + β_{32} X_{2} + \dots + β_{3 p} X_{p} . \end{array}$

Коэффициенты β _ij интерпретированы в каждом уровне. Например, для предыдущего курящего примера, β ₁₂ показывает удар X ₂ на логарифмических разногласиях человека, являющегося курильщиком по сравнению с некурящим, при условии, что все остальное считается постоянное. В качестве альтернативы β ₂₂ показывает удар X ₂ на логарифмических разногласиях человека, курящего одну - пять сигарет по сравнению с больше чем пятью сигаретами в день, учитывая, что он - курильщик, при условии, что все остальное считается постоянное. Точно так же β ₂₃, показывает эффект X ₂ на логарифмических разногласиях человека, курящего 6 - 10 сигарет по сравнению с больше чем 10 сигаретами в день, учитывая, что он курит больше чем 5 сигарет в день, при условии, что все остальное считается постоянное.

Можно задать другие функции ссылки для иерархических моделей. 'link','probit' аргумент пары "имя-значение" использует функцию ссылки пробита. С отдельным предположением наклонов модель становится

$\begin{array}{l} Φ^{- 1} (π_{1}) = α_{1} + β_{11} X_{1} + \dots + β_{1 p} X_{p}, \\ Φ^{- 1} (π_{2}) = α_{2} + β_{21} X_{1} + \dots + β_{2 p} X_{p}, \\ ⋮ ⋮ \\ Φ^{- 1} (π_{k}) = α_{k} + β_{k 1} X_{1} + \dots + β_{k p} X_{p}, \end{array}$

где π_{, j} является условной вероятностью того, чтобы быть в категории j, учитывая, что это не находится в категориях до категории j. И ^Φ-1(.) является инверсией стандартной нормальной кумулятивной функции распределения.

После оценки коэффициентов модели с помощью mnrfit, можно оценить интегральные вероятности или совокупное число в каждой категории с помощью mnrval с 'type','conditional' аргумент пары "имя-значение". Функциональный mnrval принимает содействующие оценки и статистику модели mnrfit возвращается и оценивает категориальные вероятности или номер в каждой категории и их доверительных границах. Можно задать который категория или интегральные вероятности или числа, чтобы оценить путем изменения значения 'type' аргумент пары "имя-значение" в mnrval.

Ссылки

[1] Маккуллаг, P. и Дж. А. Нелдер. Обобщенные линейные модели. Нью-Йорк: Chapman & Hall, 1990.

[2] Ляо, T. F. Интерпретация вероятностных моделей: логит, пробит и другой обобщенный линейный ряд моделей: количественные приложения в общественных науках. Мудрые публикации, 1994.

Документация

Иерархические модели многочлена

Ссылки

Смотрите также

Похожие темы

Документация Statistics and Machine Learning Toolbox

Поддержка