Описание проблемы

Логистическая регрессия является специальным типом регрессии, в которой цель состоит в том, чтобы смоделировать вероятность чего-то в зависимости от других переменных. Рассмотрите набор векторов предиктора $$x_1,\dots ,x_N$$ где $$N$$ количество наблюдений и $$x_i$$ вектор-столбец, содержащий значения $$d$$ предикторы для $$i$$ наблюдение th. Переменная отклика для $$x_i$$ $$Z_i$$ где $$Z_i$$ представляет Биномиальную случайную переменную параметрами $$n$$, количество испытаний, и $${\mu }_i$$, вероятность успеха для испытания $$i$$. Нормированная переменная отклика $$Y_i=Z_i/n$$ - пропорция успехов в $$n$$ испытания за наблюдение $$i$$. Примите это ответы $$Y_i$$ независимы для $$i=1,\dots ,N$$. Для каждого $$i$$:

$$Var(Y_i)=\frac{{\mu }_i(1-{\mu }_i)}{n}$$.

Рассмотрите моделирование $${\mu }_i$$ в зависимости от переменных предикторов $$x_i$$.

В линейной логистической регрессии можно использовать функциональный fitglm к модели $${\mu }_i$$ в зависимости от $$x_i$$ можно следующим образом:

с $$\beta$$ представление набора коэффициентов, умножающих предикторы в $$x_i$$. Однако предположите, что вам нужна нелинейная функция на правой стороне:

Существуют функции в Statistics and Machine Learning Toolbox™ для того, чтобы подбирать нелинейные модели регрессии, но не для того, чтобы подбирать нелинейные модели логистической регрессии. В этом примере показано, как можно использовать функции тулбокса, чтобы подбирать те модели.

Прямое наибольшее правдоподобие (ML)

Подход ML максимизирует логарифмическую вероятность наблюдаемых данных. Вероятность легко вычисляется с помощью Биномиальной вероятности (или плотность) функция, как вычислено binopdf функция.

Обобщенные наименьшие квадраты (GLS)

Можно оценить нелинейную модель логистической регрессии использование функционального fitnlm. Эта сила кажется удивительной сначала начиная с fitnlm не вмещает Биномиальное распределение или любые функции ссылки. Однако fitnlm может использовать Обобщенные наименьшие квадраты (GLS) для оценки модели, если вы задаете среднее значение и отклонение ответа. Если GLS сходится, то он решает тот же набор нелинейных уравнений для оценки $$\beta$$ как решено ML. Можно также использовать GLS для оценки квазивероятности обобщенных линейных моделей. Другими словами, мы должны получить те же или эквивалентные решения от GLS и ML. Чтобы реализовать оценку GLS, обеспечьте нелинейную функцию, чтобы соответствовать, и функция отклонения для Биномиального распределения.

Средняя или функция модели

Функция модели описывает как $${\mu }_i$$ изменения с $$\beta$$. Для fitnlm, функция модели:

Функция веса

fitnlm принимает веса наблюдения как указатель на функцию с помощью 'Weights' аргумент пары "имя-значение". При использовании этой опции, fitnlm принимает следующую модель:

где ответы $$Y_i$$ приняты, чтобы быть независимым, и $$w$$ пользовательский указатель на функцию, который принимает $${\mu }_i$$ и возвращает вес наблюдения. Другими словами, веса обратно пропорциональны отклонению ответа. Для Биномиального распределения, используемого в модели логистической регрессии, создайте функцию веса можно следующим образом:

fitnlm моделирует отклонение ответа $$Y_i$$ как $${\sigma }^2/w({\mu }_i)$$ где $${\sigma }^2$$ дополнительный параметр, который присутствует по оценке GLS, но отсутствующий в модели логистической регрессии. Однако это обычно не влияет на оценку $$\beta$$, и это обеспечивает "дисперсионный параметр", чтобы проверять при условии, что $$Z_i$$ значения имеют Биномиальное распределение.

Преимущество использования fitnlm по прямому ML то, что можно выполнить тесты гипотезы и вычислить доверительные интервалы на коэффициентах модели.

Сгенерируйте данные в качестве примера

Чтобы проиллюстрировать различия между ML и подбором кривой GLS, сгенерируйте некоторые данные в качестве примера. AssumeThat $$x_i$$ является одномерным, и предположите истинную функцию $$f$$ в нелинейной логистической регрессии модель является моделью Michaelis-Menten, параметрированной a $$2\times 1$$ вектор $$\beta$$:

myf = @(beta,x) beta(1)*x./(beta(2) + x);

Создайте функцию модели, которая задает отношение между $${\mu }_i$$ и $$\beta$$.

mymodelfun = @(beta,x) 1./(1 + exp(-myf(beta,x)));

Создайте вектор из одномерных предикторов и истинного вектора коэффициентов $$\beta$$.

rng(300,'twister');
x    = linspace(-1,1,200)';
beta = [10;2];

Вычислите вектор из $${\mu }_i$$ значения для каждого предиктора.

mu = mymodelfun(beta,x);

Сгенерируйте ответы $$z_i$$ от Биномиального распределения с вероятностями успеха $${\mu }_i$$ и количество испытаний $$n$$.

n = 50;
z = binornd(n,mu);

Нормируйте ответы.

y = z./n;

Подход ML

Подход ML задает отрицательную логарифмическую вероятность в зависимости от $$\beta$$ вектор, и затем минимизирует его с оптимизационной функцией, такой как fminsearch. Задайте beta0 как начальное значение для $$\beta$$.

mynegloglik = @(beta) -sum(log(binopdf(z,n,mymodelfun(beta,x))));
beta0 = [3;3];
opts = optimset('fminsearch');
opts.MaxFunEvals = Inf;
opts.MaxIter = 10000;
betaHatML = fminsearch(mynegloglik,beta0,opts)

betaHatML = 2×1

    9.9259
    1.9720

Предполагаемые коэффициенты в betaHatML близко к истинным значениям [10;2].

Подход GLS

Подход GLS создает функцию веса для fitnlm ранее описанный.

wfun = @(xx) n./(xx.*(1-xx));

Вызовите fitnlm с пользовательским средним значением и функциями веса. Задайте beta0 как начальное значение для $$\beta$$.

nlm = fitnlm(x,y,mymodelfun,beta0,'Weights',wfun)

nlm = 
Nonlinear regression model:
    y ~ F(beta,x)

Estimated Coefficients:
          Estimate      SE       tStat       pValue  
          ________    _______    ______    __________

    b1     9.926      0.83135     11.94     4.193e-25
    b2     1.972      0.16438    11.996    2.8182e-25


Number of observations: 200, Error degrees of freedom: 198
Root Mean Squared Error: 1.16
R-Squared: 0.995,  Adjusted R-Squared 0.995
F-statistic vs. zero model: 1.88e+04, p-value = 2.04e-226

Получите оценку $$\beta$$ от подходящего NonLinearModel объект nlm.

betaHatGLS = nlm.Coefficients.Estimate

betaHatGLS = 2×1

    9.9260
    1.9720

Как в методе ML, предполагаемых коэффициентах в betaHatGLS близко к истинным значениям [10;2]. Маленькие p-значения для обоих $${\beta }_1$$ и $${\beta }_2$$ укажите, что оба коэффициента существенно отличаются от $$0$$.

Сравните подходы GLS и ML

Сравните оценки $$\beta$$.

max(abs(betaHatML - betaHatGLS))

ans = 1.1460e-05

Сравните адаптированные значения с помощью ML и GLS

yHatML  = mymodelfun(betaHatML ,x);
yHatGLS = mymodelfun(betaHatGLS,x);
max(abs(yHatML - yHatGLS))

ans = 1.2746e-07

ML и подходы GLS производят аналогичные решения.

Постройте адаптированные значения с помощью ML и GLS

figure
plot(x,y,'g','LineWidth',1)
hold on
plot(x,yHatML ,'b'  ,'LineWidth',1)
plot(x,yHatGLS,'m--','LineWidth',1)
legend('Data','ML','GLS','Location','Best')
xlabel('x')
ylabel('y and fitted values')
title('Data y along with ML and GLS fits.')

ML и GLS производят подобные подходящие значения.

Постройте оцененную нелинейную функцию с помощью ML и GLS

Постройте истинную модель для $$f(x_i,\beta )$$. Добавьте график для первоначальной оценки $$f(x_i,\beta )$$ использование $$\beta ={\beta }_0$$ и графики для ML и GLS основывали оценки $$f(x_i,\beta )$$.

figure
plot(x,myf(beta,x),'r','LineWidth',1)
hold on
plot(x,myf(beta0,x),'k','LineWidth',1)
plot(x,myf(betaHatML,x),'c--','LineWidth',1)
plot(x,myf(betaHatGLS,x),'b-.','LineWidth',1)
legend('True f','Initial f','Estimated f with ML','Estimated f with GLS','Location','Best')
xlabel('x')
ylabel('True and estimated f')
title('Comparison of true f with estimated f using ML and GLS.')

Предполагаемая нелинейная функция $$f$$ использование и ML и методы GLS близко к истинной нелинейной функции $$f$$. Можно использовать подобный метод, чтобы подбирать другие нелинейные обобщенные линейные модели как нелинейная регрессия Пуассона.