Задайте параметры портфеля

Создайте символьную переменную r представление безрискового уровня за период. Установите предположение что r положительное значение.

syms r positive

Задайте параметры в течение начала одного периода, time = 0. Здесь S0 курс акций и C0 цена колл-опциона с забастовкой, K.

syms S0 C0 K positive

Теперь задайте параметры для конца периода, time = 1. Пометьте два возможных состояния в конце периода как U (курс акций за этот период повышается), и D (курс акций за этот период понижается). Таким образом, SU и SD курсы акций в состояниях U и D и CU значение вызова в состоянии U. Обратите внимание на то, что $$SD<=K<=SU$$.

syms SU SD CU positive

Цена облигаций в time = 0 1. Обратите внимание на то, что этот пример игнорирует затраты на трение.

Соберите цены в time = 0 в вектор-столбец.

prices = [1 S0 C0]'

prices = 
$$\left(\begin{array}{c}1\\ S_0\\ C_0\end{array}\right)$$

Соберите выплаты портфеля в time = 1 в payoff матрица. Столбцы payoff соответствуйте выплатам для состояний D и U. Строки соответствуют выплатам для связи, запаса и вызова. Выплатой для связи является 1 + r. Выплата для вызова в состоянии D является нулем, поскольку это не осуществлено (потому что $$SD<=K$$).

payoff = [(1 + r), (1 + r); SD, SU; 0, CU]

payoff = 
$$\left(\begin{array}{cc}r+1& r+1\\ \mathrm{SD}& \mathrm{SU}\\ 0& \mathrm{CU}\end{array}\right)$$

CU стоит SU - K в состоянии U. Замените этим значением в payoff.

payoff = subs(payoff, CU, SU - K)

payoff = 
$$\left(\begin{array}{cc}r+1& r+1\\ \mathrm{SD}& \mathrm{SU}\\ 0& \mathrm{SU}-K\end{array}\right)$$

Решите для нейтральных к риску вероятностей

Задайте вероятности достижения состояний U и D.

syms pU pD real

Под без арбитражей, eqns == 0 должен всегда сохраняться с положительным pU и pD.

eqns = payoff*[pD; pU] - prices

eqns = 
$$\left(\begin{array}{c}\mathrm{pD}\hspace{0.17em}\left(r+1\right)+\mathrm{pU}\hspace{0.17em}\left(r+1\right)-1\\ \mathrm{SD}\hspace{0.17em}\mathrm{pD}-S_0+\mathrm{SU}\hspace{0.17em}\mathrm{pU}\\ -C_0-\mathrm{pU}\hspace{0.17em}\left(K-\mathrm{SU}\right)\end{array}\right)$$

Преобразуйте уравнения, чтобы использовать нейтральные к риску вероятности.

syms pDrn pUrn real;
eqns = subs(eqns, [pD; pU], [pDrn; pUrn]/(1 + r))

eqns = 
$$\left(\begin{array}{c}\mathrm{pDrn}+\mathrm{pUrn}-1\\ \frac{\mathrm{SD}\hspace{0.17em}\mathrm{pDrn}}{r+1}-S_0+\frac{\mathrm{SU}\hspace{0.17em}\mathrm{pUrn}}{r+1}\\ -C_0-\frac{\mathrm{pUrn}\hspace{0.17em}\left(K-\mathrm{SU}\right)}{r+1}\end{array}\right)$$

Неизвестными переменными является pDrn, pUrn, и C0. Преобразуйте линейную систему к матричной форме с помощью этих неизвестных переменных.

[A, b] = equationsToMatrix(eqns, [pDrn, pUrn, C0]')

A = 
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ \frac{\mathrm{SD}}{r+1}& \frac{\mathrm{SU}}{r+1}& 0\\ 0& -\frac{K-\mathrm{SU}}{r+1}& -1\end{array}\right)$$

b = 
$$\left(\begin{array}{c}1\\ S_0\\ 0\end{array}\right)$$

Используя linsolve, найдите решение для нейтральных к риску вероятностей и досрочной цены.

x = linsolve(A, b)

x = 
$$\left(\begin{array}{c}\frac{S_0-\mathrm{SU}+S_0\hspace{0.17em}r}{\mathrm{SD}-\mathrm{SU}}\\ -\frac{S_0-\mathrm{SD}+S_0\hspace{0.17em}r}{\mathrm{SD}-\mathrm{SU}}\\ \frac{\left(K-\mathrm{SU}\right)\hspace{0.17em}\left(S_0-\mathrm{SD}+S_0\hspace{0.17em}r\right)}{\left(\mathrm{SD}-\mathrm{SU}\right)\hspace{0.17em}\left(r+1\right)}\end{array}\right)$$

Проверьте решение

Проверьте это под нейтральными к риску вероятностями, x(1:2), ожидаемая норма прибыли для портфеля, E_return равняется безрисковому уровню, r.

E_return = diag(prices)\(payoff - [prices,prices])*x(1:2);
E_return = simplify(subs(E_return, C0, x(3)))

E_return = 
$$\left(\begin{array}{c}r\\ r\\ r\end{array}\right)$$

Протестируйте на нарушения без Арбитражей

Как пример тестирования нарушений без арбитражей, используйте следующие значения: r = 5%, S0 = 100, и K = 100. Для SU < 105, условие без арбитражей нарушено потому что pDrn = xSol(1) отрицательно (SU >= SD). Далее, для любой досрочной цены кроме xSol(3), существует арбитраж.

xSol = simplify(subs(x, [r,S0,K], [0.05,100,100]))

xSol = 
$$\left(\begin{array}{c}-\frac{\mathrm{SU}-105}{\mathrm{SD}-\mathrm{SU}}\\ \frac{\mathrm{SD}-105}{\mathrm{SD}-\mathrm{SU}}\\ \frac{20\hspace{0.17em}\left(\mathrm{SD}-105\right)\hspace{0.17em}\left(\mathrm{SU}-100\right)}{21\hspace{0.17em}\left(\mathrm{SD}-\mathrm{SU}\right)}\end{array}\right)$$

Постройте досрочную цену как поверхность

Постройте досрочную цену, C0 = xSol(3), для 50 <= SD <= 100 и 105 <= SU <= 150. Обратите внимание на то, что вызов стоит больше, когда "отклонение" базового курса акций выше, например, SD = 50, SU = 150.

fsurf(xSol(3), [50,100,105,150])
xlabel SD
ylabel SU
title 'Call Price'

Ссылка

Advanced Derivatives, Pricing and Risk Management: Theory, Tools and Programming Applications Альбанезе, C., Campolieti, G.