Численные расчеты с высокой точностью

В этом примере показано, как использовать арифметику переменной точности, чтобы получить расчеты высокой точности с помощью Symbolic Math Toolbox™.

Ищите формулы, которые представляют почти целые числа. Классический пример следующий: вычислить $$\exp (\sqrt{163}\cdot \pi )$$ к 30 цифрам. Результат, кажется, целое число, которое отображено с погрешностью округления.

digits(30);
f = exp(sqrt(sym(163))*sym(pi));
vpa(f)

ans = $$262537412640768743.999999999999$$

Вычислите то же значение к 40 цифрам. Оказывается, что это не целое число.

digits(40);
vpa(f)

ans = $$262537412640768743.9999999999992500725972$$

Исследуйте это явление далее. Ниже, числа до $$\exp (1000)$$ происходите, и для расследования нужны некоторые правильные цифры после десятичной точки. Вычислите необходимую рабочую точность:

d = log10(exp(vpa(1000)))

d = $$434.2944819032518276511289189166050822944$$

Установите необходимую точность перед первым вызовом функции, которая зависит от него. Среди других, round, vpa, и double такие функции.

digits(ceil(d) + 50);

Ищите подобные примеры формы $$\exp \left(\sqrt{n}\pi \right)$$. Конечно, можно получить больше таких чисел n путем умножения 163 квадратом. Но кроме этого, намного больше чисел этой формы близко к некоторому целому числу. Вы видите это из графика гистограммы их дробных частей:

A = exp(pi*sqrt(vpa(1:1000)));
B = A-round(A);
histogram(double(B), 50)

Вычислите, если существуют почти целые числа формы $$\exp (n)$$.

A = exp(vpa(1:1000));
B = A-round(A);
find(abs(B) < 1/1000)

ans =

  1x0 empty double row vector

Оказывается что на этот раз дробные части элементов A скорее равномерно распределяются.

histogram(double(B), 50)