Непрерывный вейвлет преобразовывает (CWT) вычисляет скалярное произведение сигнала, , с переведенными и расширенными версиями вейвлета анализа, Определение CWT:
Можно также интерпретировать CWT как основанную на частоте фильтрацию сигнала путем перезаписи CWT как обратного преобразования Фурье.
где и преобразования Фурье сигнала и вейвлета.
От предыдущих уравнений вы видите, что протяжение вейвлета во время заставляет свою поддержку в частотном диапазоне уменьшаться. В дополнение к уменьшению поддержки частоты центральная частота вейвлета переключает к более низким частотам. Следующая фигура демонстрирует этот эффект для гипотетического вейвлета и шкалы (расширение) факторы 1,2, и 4.
Это изображает CWT как полосовую фильтрацию входного сигнала. Коэффициенты CWT в более низких шкалах представляют энергию во входном сигнале на более высоких частотах, в то время как коэффициенты CWT в более высоких шкалах представляют энергию во входном сигнале на более низких частотах. Однако различающаяся полосовая фильтрация Фурье, ширина полосового фильтра в CWT обратно пропорциональна шкале. Ширина CWT фильтрует уменьшения с увеличивающейся шкалой. Это следует из отношений неопределенности между временем и поддержкой частоты сигнала: чем более широкий поддержка сигнала вовремя, тем более узкий его поддержка в частоте. Обратное отношение также содержит.
В вейвлете преобразовывают, шкала, или операция расширения задана, чтобы сохранить энергию. Сохранить энергию при уменьшении поддержки частоты требует, чтобы пиковый энергетический уровень увеличился. Реализация cwt
в Wavelet Toolbox™ использует нормализацию L1. Добротностью или фактором Q фильтра является отношение своей пиковой энергии к пропускной способности. Поскольку уменьшение или протяжение поддержки частоты вейвлета приводят к соразмерным увеличениям или уменьшениям в его пиковой энергии, вейвлеты часто упоминаются как постоянные-Q фильтры.
Уравнение в предыдущем разделе задало CWT как обратное преобразование Фурье продукта преобразований Фурье.
Переменная времени в обратном преобразовании Фурье является параметром перевода, b.
Это предполагает, что можно вычислить CWT с обратным преобразованием Фурье. Поскольку существуют эффективные алгоритмы для расчета дискретного преобразования Фурье и его инверсии, можно часто достигать значительных сбережений при помощи fft
и ifft
если это возможно.
Чтобы получить изображение CWT в области Фурье, начните с определения вейвлета, преобразуйте:
Если вы задаете:
можно переписать вейвлет, преобразовывают как
который явным образом описывает CWT как свертку.
Чтобы реализовать дискретизированную версию CWT, примите, что входная последовательность является длиной N вектор, x[n]. Дискретная версия предыдущей свертки:
Чтобы получить CWT, кажется, что необходимо вычислить свертку для каждого значения параметра сдвига, b, и повторить этот процесс для каждой шкалы, a.
Однако, если эти две последовательности циркулярно расширены (periodized к длине N), можно описать круговую свертку как продукт дискретных преобразований Фурье. CWT является обратным преобразованием Фурье продукта
где Δt является интервалом выборки (период).
При выражении CWT, когда обратное преобразование Фурье позволяет вам использовать в вычислительном отношении эффективное fft
и ifft
алгоритмы, чтобы уменьшать стоимость вычислительных сверток.
cwt
функционируйте реализует CWT.