Подъем набора фильтров

Скрипт Open Live Script

В этом примере показано, как использовать подъем, чтобы прогрессивно изменить свойства совершенного набора фильтров реконструкции. Следующий рисунок показывает три канонических шага в подъеме: разделите, предскажите, и обновление.

Первый шаг в подъеме должен просто разделить сигнал в даже - и нечетно индексированные выборки. Они называются многофазными компонентами, и тот шаг в поднимающемся процессе часто упоминается как "ленивый" поднимающийся шаг, потому что вы действительно не делаете, так очень работают. Можно сделать это в MATLAB™ путем создания "ленивой" поднимающейся схемы с помощью liftingScheme с настройками по умолчанию.

LS = liftingScheme;

Используйте поднимающуюся схему получить разложение вейвлета уровня 1 случайного сигнала.

x = randn(8,1);
[ALazy,DLazy] = lwt(x,'LiftingScheme',LS,'Level',1);

MATLAB индексирует от 1 так ALazy содержит нечетно индексированные выборки x и DLazy содержит даже индексированные выборки. Большинство объяснений подъема принимает, что сигнал запускается с демонстрационного 0, таким образом, ALazy были бы даже индексированные выборки и DLazy нечетно индексированные выборки. Этот пример следует тому последнему соглашению. "Ленивый" вейвлет преобразовывает обработки одна половина сигнала как коэффициенты вейвлета, DLazy, и другая половина как масштабные коэффициенты, ALazy. Это совершенно сопоставимо в контексте подъема, но простое разделение данных делает действительно sparsify или получает любую соответствующую деталь.

Следующий шаг в поднимающейся схеме должен предсказать нечетные выборки на основе ровных выборок. Теоретический базис для этого - то, что самые естественные сигналы и отображают корреляцию выставки среди соседних выборок. Соответственно, можно "предсказать" нечетно индексированные выборки с помощью даже индексированных выборок. Различием между вашим предсказанием и фактическим значением является "деталь" в данных, пропущенных предиктором. Та недостающая деталь включает коэффициенты вейвлета.

В форме уравнения можно записать шаг предсказания как $d_{j} (n) = d_{j - 1} (n) - P (a_{j - 1})$ где $d_{j - 1} (n)$ коэффициенты вейвлета в более прекрасной шкале и $a_{j - 1}$ некоторое количество масштабных коэффициентов более прекрасной шкалы. $P (\cdot)$ оператор предсказания.

Добавьте простое (Хаар) шаг предсказания, который вычитает ровное (приближение) коэффициент от нечетного (деталь) коэффициент. В этом случае оператор предсказания просто $(- 1) a_{j - 1} (n)$ . Другими словами, это предсказывает нечетные выборки на основе сразу предыдущий даже выборка.

ElemLiftStep = liftingStep('Type','predict','Coefficients',-1,'MaxOrder',0);

В вышеупомянутом коде говорится, "создают элементарное предсказание, снимающее шаг с помощью полинома в $z$ с самой высокой степенью $z^{0}$ . Коэффициент-1. Обновите ленивую поднимающуюся схему.

LSN = addlift(LS,ElemLiftStep);

Примените новую поднимающуюся схему к сигналу.

[A,D] = lwt(x,'LiftingScheme',LSN,'Level',1);

Обратите внимание на то, что элементы A идентичны тем в ALazy. Это ожидается, потому что вы не изменили коэффициенты приближения.

[A ALazy]

ans = 4×2

    0.5377    0.5377
   -2.2588   -2.2588
    0.3188    0.3188
   -0.4336   -0.4336

Если вы смотрите на элементы D{1}, вы видите, что они равны DLazy{1}-ALazy.

Dnew = DLazy{1}-ALazy;
[Dnew D{1}]

ans = 4×2

    1.2962    1.2962
    3.1210    3.1210
   -1.6265   -1.6265
    0.7762    0.7762

Сравните Dnew к D. Вообразите пример, где сигнал был кусочной константой по каждым двум выборкам.

v = [1 -1 1 -1 1 -1];
u = repelem(v,2)

u = 1×12

     1     1    -1    -1     1     1    -1    -1     1     1    -1    -1

Примените новую поднимающуюся схему к u.

[Au,Du] = lwt(u,'LiftingScheme',LSN,'Level',1);
Du{1}

Вы видите что весь Du нуль. Этот сигнал был сжат, потому что вся информация теперь содержится в 6 выборках вместо 12 выборок. Можно легко восстановить исходный сигнал

urecon = ilwt(Au,Du,'LiftingScheme',LSN);
max(abs(u(:)-urecon(:)))

ans = 0

На вашем шаге предсказания вы предсказали, что смежная нечетная выборка в вашем сигнале имела то же значение как сразу предыдущий даже выборка. Очевидно, это верно только для тривиальных сигналов. Коэффициенты вейвлета получают различие между предсказанием и фактическими значениями (на нечетных выборках). Наконец, используйте шаг обновления, чтобы обновить ровные выборки на основе различий, полученных на шаге предсказания. В этом случае, обновление с помощью следующего $a_{j} (n) = a_{j - 1} (n) + d_{j - 1} (n) / 2$ . Это заменяет каждый даже индексированный коэффициент средним арифметическим четных и нечетных коэффициентов.

elsUpdate = liftingStep('Type','update','Coefficients',1/2,'MaxOrder',0);
LSupdated = addlift(LSN,elsUpdate);

Получите преобразование вейвлета сигнала с обновленной поднимающейся схемой.

[A,D] = lwt(x,'LiftingScheme',LSupdated,'Level',1);

Если вы сравниваете A к исходному сигналу, x, вы видите, что среднее значение сигнала получено в коэффициентах приближения.

[mean(A) mean(x)]

ans = 1×2

   -0.0131   -0.0131

На самом деле, элементы A легко доступны от x следующим.

n = 1;
for ii = 1:2:numel(x)
    meanz(n) = mean([x(ii) x(ii+1)]);
    n = n+1;
end

Сравните meanz и A. Как всегда, можно инвертировать поднимающуюся схему получить совершенную реконструкцию данных.

xrec = ilwt(A,D,'LiftingScheme',LSupdated);
max(abs(x-xrec))

ans = 2.2204e-16

Распространено добавить шаг нормализации в конце так, чтобы энергия в сигнале ( $ℓ^{2}$ норма), сохраняется как сумма энергий в коэффициентах вейвлета и масштабировании. Без этого шага нормализации не сохраняется энергия.

norm(x,2)^2

ans = 11.6150

norm(A,2)^2+norm(D{1},2)^2

ans = 16.8091

Добавьте необходимый шаг нормализации.

LSsteps = LSupdated.LiftingSteps;
LSscaled = liftingScheme('LiftingSteps',LSsteps,'NormalizationFactors',[sqrt(2)]);
[A,D] = lwt(x,'LiftingScheme',LSscaled,'Level',1);
norm(A,2)^2+norm(D{1},2)^2

ans = 11.6150

Теперь $ℓ^{2}$ норма сигнала равна сумме энергий в коэффициентах вейвлета и масштабировании. Поднимающаяся схема, которую вы разработали в этом примере, является схемой подъема Хаара.

Wavelet Toolbox™ поддерживает многих обычно используемые поднимающиеся схемы через liftingScheme с предопределенным предсказывают и обновляют шаги и коэффициенты нормализации. Например, можно получить схему подъема Хаара со следующим.

lshaar = liftingScheme('Wavelet','haar');

Чтобы видеть, что не все поднимающиеся схемы состоят из сингла, предсказывают и обновляют подъем шагов, исследуют поднимающуюся схему, которая соответствует bior3.1 вейвлет.

lsbior3_1 = liftingScheme('Wavelet','bior3.1')

lsbior3_1 = 
 	 Wavelet              : 'bior3.1' 
 	 LiftingSteps         : [3 × 1] liftingStep 
 	 NormalizationFactors : [2.1213 0.4714] 
 	 CustomLowpassFilter  : [] 


 Details of LiftingSteps :
            Type: 'update'
    Coefficients: -0.3333
        MaxOrder: -1

            Type: 'predict'
    Coefficients: [-0.3750 -1.1250]
        MaxOrder: 1

            Type: 'update'
    Coefficients: 0.4444
        MaxOrder: 0

Документация

Подъем набора фильтров

Документация Wavelet Toolbox

Поддержка