Exponenta Banner
exponenta event banner

Решение для выходного потока сверхзвукового сопла

Открыть сценарий

В этом примере показано, как использовать метод характеристик и теорию потока Прандтля-Мейера для решения проблемы сверхзвукового потока, включающего расширения. Решение для поля потока после выхода сверхзвукового сопла.

Определение проблемы

В этом разделе описывается решаемая проблема. Он также предоставляет необходимые уравнения и известные значения.

Решение для поля потока после сверхзвукового сопла с использованием метода характеристик. Число Маха на выходной плоскости равно 1,5, а давление на выходной плоскости - 200 килопаскалей. Противодавление составляет 100 килопаскалей.

Допущения:

  • Поток изентропный

  • Изменение свойств потока зависит от взаимодействия волн расширения, которые возникают в течение всего пробега сопла.

  • Геометрия сопла и потока симметрична.

Моделируйте вентилятор расширения как три характеристики. Из-за симметрии произвольно выбрать работу только на верхней половине потока. Ниже приведен рисунок выхода сопла.

upperNozzle = astexpandschematic('uppernozzle');

Данная информация в проблеме:

exitMach = 1.5; % Mach number at the exit plane [dimensionless]
exitPres = 200; % Static pressure at the exit plane [kPa]
backPres = 100; % Pressure downstream of the nozzle, outside of the expansion wake

Предполагается, что текучая среда представляет собой воздух, который ведет себя как идеальный газ со следующим постоянным удельным тепловым отношением.

k = 1.4; % Specific heat ratio [dimensionless]

Метод характеристик

Метод характеристик - теория для сверхзвукового потока, анализирующая уравнение потока ирротационного потенциала в полностью нелинейной форме. Предполагается изэнтропический поток. Определение характеристик представляет собой кривые в потоке, где скорость является непрерывной, но первая производная скорости является прерывистой.

На предыдущем рисунке синие линии в являются приблизительными характеристиками. Характеристики типа I составляют отрицательный острый угол с направлением потока. Характеристики типа II составляют положительный острый угол с направлением потока. Детальная деривация метода выходит за рамки данного примера анализа. В данном примере анализа используется процедура «область-область». Предполагается, что вы знакомы с этой процедурой.

В потоке Прандтля-Мейера и методе характеристик вычислите важные углы для всех областей потока.

  • Угол потока - это направление движения воздуха.

$$ \theta_n = Flow\;angle\;in\;the\;n^{th}\;region $$

  • Угол Прандтля - Мейера - это угол, под которым поток изменяет направление из одной области в другую.

$$ \nu_n = Prandtl-Meyer\;angle\;in\;the\;n^{th}\;region $$

  • Угол Маха - это угол между локальным направлением потока и слабыми волнами давления, которые исходят из данной точки.

$$ \mu_n = Mach\;angle\;in\;the\;n^{th}\;region $$

Вычислите число Маха в каждой области и решите углы обоих типов характеристики во всех областях. Решите геометрическую границу всех областей путем вычисления откосов всех характеристик и определения местоположения всех пересечений характеристик.

Вычисление свойств потока через первый вентилятор расширения

Определите число Маха за пределами пробуждения (область 4). Число Маха в этом месте можно найти, используя изэнтропические отношения для давления и заданные значения для давления. Коэффициент давления на выходной плоскости легко решается для использования flowisentropic.

[~, ~, exitPresRatio] = flowisentropic(k, exitMach);

Отношение противодавления представляет собой отношение противодавления к давлению застоя. Отношение изэнтропного давления во внешней области бодрствования составляет:

$$ \frac{p_4}{p_0} = \frac{p_4}{p_1} \frac{p_1}{p_0}$$

backPresRatio = backPres / exitPres * exitPresRatio;

Вычислите число Маха в области 4 с помощью flowisentropic.

backMach = flowisentropic(k, backPresRatio, 'pres');

Ввод строки «pres» указывает, что функция находится в режиме ввода отношения давления. Угол потока в области противодавления представляет собой разность углов Прандтля-Мейера от области выходной плоскости (область 1) к области противодавления (область 4).

$$ \theta_4 = \nu_4 - \nu_1 $$

[~, nu_1]    = flowprandtlmeyer(k, exitMach);
[~, nu_4]    = flowprandtlmeyer(k, backMach);
theta_4 = nu_4 - nu_1;

Поскольку мы аппроксимируем поток тремя характеристиками, вычисляют изменение угла потока в характеристиках пересечения типа I от области 1 к области 4:

$$ \Delta \theta_I = \frac{\theta_4}{3} $$

deltaThetaI = theta_4 / 3;

Следует отметить, что поток в области 1 параллелен горизонтали и поэтому:

theta_1 = 0;

Фактически поток в любой области, охватывающей осевую линию, параллелен осевой линии. Это происходит потому, что осевая линия считается границей для этого симметричного потока. Кроме того, на границе нет ни источников, ни поглотителей.

theta_5  = 0;
theta_8  = 0;
theta_10 = 0;

Углы потока областей 2 и 3 следуют просто.

theta_2 = theta_1 + deltaThetaI;
theta_3 = theta_2 + deltaThetaI;

По характеристикам типа I изменение угла Прандтля-Мейера равно изменению угла потока:

$$ \Delta \nu_I = \Delta \theta_I $$

deltaNuI = deltaThetaI;

Рассчитайте угол Прандтля-Мейера в области 2, используя угол Прандтля-Мейера в области 1 и deltaNuI, изменение угла Прандтля-Мейера в характеристиках типа I. Вычислите угол Прандтля-Мейера в области 3 аналогично углу области 2.

$$ \Delta \nu_I = \nu_2 - \nu_1 $$

$$ \nu_2 = \nu_1 + \Delta \nu_I $$

nu_2 = nu_1 + deltaNuI;
nu_3 = nu_2 + deltaNuI;

Расчет свойств потока в областях пересечений

Известно, что угол потока в области 5 равен нулю от граничного условия осевой линии. Следовательно, изменение угла от области 2 к области 5 равно

$$ \Delta \theta_{II} = \theta_5 - \theta_2 $$

deltaThetaII = theta_5 - theta_2;

Рассчитайте изменение угла Прандтля-Мейера по характеристикам типа II:

$$ \Delta \nu_{II} = - \Delta \theta_{II} $$

deltaNuII = -deltaThetaII;

Затем вычислите угол Прандтля-Мейера в области 5. Вы уже знаете область 2 угол Прандтля-Мейера и изменение угла Прандтля-Мейера в характеристиках типа II.

nu_5 = nu_2 + deltaNuII;

Чтобы вычислить свойства в области 6, используйте тот факт, что свойства в области 3 и области 5 известны. Следует также отметить, что характеристика, которую пересекает поток, определяет изменения свойств. От области 5 к области 6 пересекается характеристика типа I. Поэтому

$$ \Delta \theta_I = \Delta \nu_I = \theta_6 - \theta_5 = \nu_6 - \nu_5 $$

Переставил это как:

$$ \nu_6 - \theta_6 = \nu_5 - \theta_5 \;\;\;\;\;(1)$$

Характеристика типа II пересекается при переходе от области 3 к области 6. Поэтому

$$ \Delta \nu_{II} = -\Delta \theta_{II} $$

$$ \nu_6 - \nu_3 = \theta_3 - \theta_6 $$

Перегруппировка:

$$ \nu_6 + \theta_6 = \nu_3 + \theta_3 \;\;\;\;\;(2)$$

Сложите уравнения (1) и (2) вместе, затем решите угол Прандтля-Мейера в области 6. Это дает следующее выражение.

$$ \nu_6 = \frac{(\nu_5 - \theta_5) + (\nu_3 + \theta_3)}{2}$$

В MATLAB ® используйте:

nu_6 = ((nu_5 - theta_5) + (nu_3 + theta_3))/2;

Из уравнения (1) угол потока в области 6 равен

theta_6 = nu_6 - (nu_5 - theta_5);

Для области 7 пересечена характеристика первого типа, и вся информация доступна в области 6.

nu_7    = nu_6 + deltaNuI;
theta_7 = theta_6 + deltaThetaI;

Область 8 находится на осевой линии; его угол потока равен нулю. Переход от области 6 к области 8 требует пересечения признака типа II. Поэтому вычислите угол Прандтля-Мейера в области 8 как:

nu_8 = nu_6 + deltaNuII;

Рассчитайте угол Прандтля-Мейера и угол потока в области 9 так же, как это было сделано для области 6. Область 8 - это область выше по течению по характеристике типа I. Область 7 - это область выше по течению для признака типа II.

nu_9    = ((nu_8 - theta_8) + (nu_7 + theta_7))/2;
theta_9 = nu_9 - (nu_8 - theta_8);

Область десять находится на осевой линии. Поток параллелен и поэтому угол потока равен нулю. Используйте угол Прандтля-Мейера в области 9 и пересечение характеристики типа II для вычисления угла Прандтля-Мейера в области 10.

nu_10 = nu_9 + deltaNuII;

Подготовка и табулирование результатов параметров потока

Для предстоящих вычислений объедините углы потока в один вектор и углы Прандтля-Мейера в другой вектор.

flowAngles         = [theta_1 theta_2 theta_3 theta_4 theta_5 theta_6 theta_7 theta_8 theta_9 theta_10];

prandtlMeyerAngles = [nu_1 nu_2 nu_3 nu_4 nu_5 nu_6 nu_7 nu_8 nu_9 nu_10];

Чтобы вычислить числа Маха и углы Маха в каждой области, используйте flowprandtlmeyer в качестве входных данных используется функция prandtlMeureAngels. Результаты этой функции можно использовать для поиска угла, создаваемого характеристиками типа I и типа II с горизонталью внутри каждой области. Затем эти углы можно использовать для вычисления откосов в плоскости x-y, где осевая линия - ось x, а выходная плоскость сопла - ось y. Для характеристик типа I и типа II, соответственно, уклоны:

$$ \left(\!\frac{dy}{dx}\!\right)_{\! I} = tan(\theta - \mu)$$

$$ \left(\!\frac{dy}{dx}\!\right)_{\!\! II} = tan(\theta + \mu)$$

Обратите внимание, что значения в следующей таблице для типов I и II являются углами с горизонтальными, а не с уклонами.

% Preallocation for speed
machNumbers = zeros(1,10);
machAngles  = zeros(1,10);
typeOne     = zeros(1,10);
typeTwo     = zeros(1,10);

for i = 1:10
    [machNumbers(i), ~, machAngles(i)] = flowprandtlmeyer(k, prandtlMeyerAngles(i), 'nu');
    typeOne(i) = flowAngles(i) - machAngles(i);
    typeTwo(i) = flowAngles(i) + machAngles(i);
end


clear table;
table(1,:) = 'Region   theta        nu        Mach        mu       type I    type II';
table(2,:) = '         (Deg)      (Deg)                  (Deg)     (Deg)      (Deg) ';
for m=1:length(machNumbers)
table(m+3,:) = sprintf('%3.0d   %8.2f      %5.2f   %8.3f    %8.2f   %8.2f  %8.2f ', ...
                m, flowAngles(m), prandtlMeyerAngles(m), machNumbers(m), ...
                machAngles(m), typeOne(m), typeTwo(m));
end

disp(table)

Region   theta        nu        Mach        mu       type I    type II
         (Deg)      (Deg)                  (Deg)     (Deg)      (Deg) 
                                                                      
  1       0.00      11.91      1.500       41.81     -41.81     41.81 
  2       4.45      16.35      1.650       37.29     -32.85     41.74 
  3       8.89      20.80      1.803       33.70     -24.80     42.59 
  4      13.34      25.24      1.959       30.69     -17.35     44.03 
  5       0.00      20.80      1.803       33.70     -33.70     33.70 
  6       4.45      25.24      1.959       30.69     -26.25     35.14 
  7       8.89      29.69      2.122       28.11     -19.22     37.00 
  8       0.00      29.69      2.122       28.11     -28.11     28.11 
  9       4.45      34.14      2.294       25.84     -21.40     30.29 
 10       0.00      38.58      2.477       23.81     -23.81     23.81

Обратите внимание на следующее:

  • Углы потока увеличиваются от осевой линии.

  • Углы Прандтля-Мейера увеличиваются при движении потока вниз по течению.

  • Число Маха также увеличивается при движении потока вниз по потоку.

Решение для геометрии потока

Свойства потока известны во всех областях, но для решения для поля потока необходимо вычислить фактическую геометрию каждой области. Последние два столбца приведенной выше таблицы содержат углы, которые каждый тип характеристики делает с горизонталью. Поскольку прямые линии аппроксимируют характеристики потока в каждой области, граница между любыми двумя областями аппроксимируется средним значением углов, которые каждая делает в граничащих областях. Так как волны изгибаются через вентилятор расширения, начните анализ с точки, из которой берутся характеристики. Характеристики возникают на выступе сопла и работают ниже по потоку.

Предположим, что пересечение осевой линии и выходной плоскости сопла является началом нашей системы координат. Также предполагается, что длины нормализуются к половине выходной высоты сопла. Положительная ось x принимается горизонтальной вдоль осевой линии в направлении вниз по течению. Положительная ось y расположена вертикально вверх в выходной плоскости сопла. Выступ сопла находится в точке (0,1).

Все три характеристики, распространяющиеся из верхней губы, являются характеристиками типа I. Сначала проанализируйте самую крутую наклонную характеристику, поскольку никакие волны не мешают самой крутой волне до тех пор, пока самая крутая волна не пересечет осевую линию. В симметричной модели полусоплов самая крутая волна отражается обратно в вентилятор и мешает другим волнам в вентиляторе расширения.

Эта волна, которая «отражается» от осевой линии, на самом деле является самой крутой наклонной характеристикой II типа, которая распространяется от нижней губы. Однако анализ рассматривает осевую линию как границу из-за симметрии. Это дает те же результаты, что и при работе с обеими половинами насадки.

Наиболее крутой наклонной линией от губы является характеристика типа I, которая разделяет область 1 и область 2. Чтобы вычислить угол, который самая крутая наклонная волна делает с горизонталью, используйте среднее значение углов, которое характеристики типа I делают в каждой области. Для расчета уклона используется тригонометрия.

avgAngle12 = (typeOne(1) + typeOne(2)) / 2;
slope12    = tand(avgAngle12);

Со следующей известной информацией:

  • Наклон волны первого типа I в пространстве x-y.

  • Y-перехват волны (y = 1 на губе).

  • Волна пересекает осевую линию (y = 0) без пересечений.

Вычислите положение точки по оси X с помощью уравнения линии в форме «наклон-пересечение». Перегруппировка y = m * x + b для x-местоположения с y = 0 для получения x = -b/m. Это x-местоположение первой точки нисходящего потока, точка 1.

y1 = 0; % On the centerline
x1 = -1 / slope12;

С точки 1 первая характеристика II типа распространяется и мешает вентилятору. Другие характеристики типа I, которые происходят от выступа сопла, нарушаются волной типа II, но не до достижения этой волны. Поэтому вычислите точки пересечения самой крутой характеристики типа II и более плоских волн типа I от губы. Характеристика типа II, исходящая от осевой линии, разделяет область 2 и область 5. Среднее значение двух углов и связанных с ними откосов задается следующим образом:

avgAngle25 = (typeTwo(2) + typeTwo(5)) / 2;
slope25    = tand(avgAngle25);

Второй наиболее крутой характеристикой типа I является от выступа сопла, отделяющего область 2 и область 3. Средний угол с горизонталью и связанный с ним наклон волны задаются:

avgAngle23 = (typeOne(2) + typeOne(3)) / 2;
slope23    = tand(avgAngle23);

Вычислите пункт пересечения региона граница 2-3 и регион граница 2-5. Этот момент необходим, поскольку признаки мешают друг другу в этот момент. Известны уклоны обеих границ и точка на каждой линии. Известны точка 1 и выступ сопла (ссылка на точку 0. " Решите неизвестную координату x точки пересечения. Используйте это положение x в уравнении любой из двух линий, чтобы найти положение y точки пересечения. Уравнение формы точка-наклон линии через точку p с уклоном m:

$$ y - y_p = m(x - x_p)$$

Преимущество этой формы отрезка заключается в том, что для полного определения отрезка требуется только одна точка и уклон. X и y без подстрочных индексов могут быть любой точкой на линии. Однако точка пересечения двух линий должна быть уникальной. Называя эту точку пересечения точкой 2, уравнение обеих прямых выглядит следующим образом.

$$ y_2 - y_0 = m_{2,3}(x_2 - x_0)\;\;\;\;(3)$$

$$ y_2 - y_1 = m_{2,5}(x_2 - x_1)\;\;\;\;(4)$$

где

$$ m_{i,j} = Slope\;of\;the\;boundary\;between\;region\;i\;and\;region\;j$$

Вычесть и переупорядочить:

$$ x_2 = \frac{x_1 m_{2,5} - x_0 m_{2,3} + y_0 - y_1}{m_{2,5} - m_{2,3}}$$

Знание некоторых значений именно благодаря осям перехватывает упрощает это выражение до.

x2 = (x1 * slope25 + 1) / (slope25 -slope23);

Ниже y-местоположения точки 2 обнаруживается путем вставки x-местоположения точки 2 в уравнение (4) выше, но вставка в уравнение (3) работает точно так же.

y2 = (x2 - x1) * slope25;

Для вычисления всех точек используйте формулу наклона-пересечения и приведенную выше процедуру. Чтобы вычислить третью точку потока, сначала вычислите пересечение границы области 3-4 и границы 3-6. Углы граничных линий вычисляются с использованием среднего значения углов с горизонталью. Затем можно использовать тригонометрию, чтобы найти наклон, который теперь вычисляется за один шаг.

slope34 = tand( (typeOne(3) + typeOne(4)) / 2 );
slope36 = tand( (typeTwo(3) + typeTwo(6)) / 2 );

Поскольку граница между областью 3 и областью 4 является характеристикой типа I, а граница между областью 3 и областью 6 является характеристикой типа II, будьте внимательны при выборе углов для соответствующего типа. Используйте форму «точка-наклон» этих граничных линий, вычитаемых друг от друга, чтобы вычислить положение точки 3 по оси X.

x3 = (y2 - 1 - x2 * slope36) / (slope34 - slope36);
y3 = (x3 - x2) * slope36 + y2;

Первая характеристика типа II теперь распространяется за пределы вентилятора и не мешает каким-либо другим характеристикам. Угол, который определяет направление, в котором распространяется самый крутой тип II, является углом, который является средним для волн типа II в областях 4 и 7.

slope47 = tand( (typeTwo(4) + typeTwo(7)) / 2);

Решите также вторую самую крутую характеристику типа I для продолжения вниз по течению. Начните с известного местоположения точки 2 для вычисления x-перехвата второй характеристики типа I. В решении также используется форма линии «точка-наклон». Однако до тех пор, пока не будет достигнута граница осевой линии, пересечение отсутствует. Нам нужно рассмотреть только одну строку, чтобы найти x-местоположение «точки 4». Наклон границы между областью 5 и областью 6 представляет собой волну типа I:

slope56 = tand( (typeOne(5) + typeOne(6)) / 2 );

Переупорядоченная форма точка-наклон (зная y = 0 на осевой линии) используется для поиска точки 4.

x4 = ( slope56 * x2 - y2 ) / slope56;
y4 = 0;

Вычислите точку 5 таким же образом, как и точку 2. Граница области 6-7 является границей типа I, а граница области 6-8 является границей типа II.

slope67 = tand( ( typeOne(6) + typeOne(7)) / 2);
slope68 = tand( (typeTwo(6) + typeTwo(8)) / 2);

Известной точкой на границе области 6-7 является точка 3. Известной точкой на границе области 6-8 является точка 4. Используйте эту информацию в форме «наклон-пересечение», вычитая уравнения, и измените порядок, чтобы получить расположение следующей точки.

x5 = (-x4 * slope68 + x3 * slope67 + y4 -y3) / (slope67 - slope68);
y5 = (x5 - x4) * slope68 + y4;

Вторая характеристика типа II распространяется за пределы вентилятора под углом, усредненным между областью 7 и углами области 9 для волн типа II.

slope79 = tand( (typeTwo(7) + typeTwo(9)) / 2);

Последней интересующей точкой является x-перехват плоской волны I типа. Вычислите эту точку, зная местоположение точки 5 и найдя наклон волны типа I между областью 8 и областью 9.

slope89 = tand( (typeOne(8) + typeOne(9)) / 2);
y6      = 0;
x6      = (slope89 * x5 - y5) / slope89;

Конечная волна типа II распространяется под углом, усредненным между областью 9 и областью 10.

slope910 = tand( (typeTwo(9) + typeTwo(10)) /2);

При всех вычисленных точках и известном наклоне свободно распространяющихся линий соедините точки:

points = astexpandschematic('nozzlepoints');

Метод характеристик является мощным методом решения задач сверхзвуковой газодинамики. Следует отметить, что этот метод представляет аппроксимацию для характерных линий. Приближение приближается к точному случаю для бесконечного числа характерных прямых.

close(upperNozzle,points)

Ссылка

[1] Джеймс, Дж. Э. А., «Gas Dynamics, Second Edition», Allyn and Bacon, Inc, Boston, 1984.

Документация по панели инструментов для аэрокосмической промышленности

Поддержка