Введение

CORDIC - аббревиатура от COORDinate Rotation DIgital Computer. Алгоритм CORDIC на основе ротации Givens (см. [1,2]) является одним из наиболее аппаратных эффективных алгоритмов, поскольку требует только итеративных операций добавления сдвига. Алгоритм CORDIC исключает необходимость явных умножителей и подходит для вычисления множества функций, таких как синус, косинус, арксинус, арккосинус, арктангенс, векторная величина, деление, квадратный корень, гиперболические и логарифмические функции.

Алгоритм CORDIC с фиксированной точкой требует выполнения следующих операций:

Алгоритм ядра CORDIC с использованием режима вычисления ротации

Алгоритм режима вычисления вращения CORDIC можно использовать для одновременного вычисления синуса и косинуса, вычисления полярно-декартовых преобразований и для других операций. В режиме вращения известны величина вектора и угол поворота, и компоненты координат (X-Y) вычисляются после поворота.

Алгоритм режима поворота CORDIC начинается с инициализации углового накопителя с требуемым углом поворота. Затем решение о повороте при каждой итерации CORDIC выполняется таким образом, что уменьшается величина накопителя остаточного угла. Решение о повороте основано на знаке остаточного угла в угловом накопителе после каждой итерации.

В режиме вращения уравнения CORDIC:

где если, и иначе;

и является общим числом итераций.

Это дает следующий результат в качестве подходов:

Где:

.

Обычно выбирается как достаточно большое постоянное значение. Таким образом, может быть предварительно вычислено.

В режиме вращения алгоритм CORDIC ограничен углами поворота между и. Для поддержки углов за пределами этого диапазона часто используется квадрантная коррекция.

Эффективная реализация алгоритма ядра вращения CORDIC MATLAB

Ниже приведен пример реализации кода MATLAB алгоритма CORDIC Rotation Kernel (для случая скаляра x, y, и z). Этот же код может использоваться как для операций с фиксированной запятой, так и для операций с плавающей запятой.

Ядро вращения CORDIC

function [x, y, z] = cordic_rotation_kernel(x, y, z, inpLUT, n)
% Perform CORDIC rotation kernel algorithm for N iterations.
xtmp = x;
ytmp = y;
for idx = 1:n
    if z < 0
        z(:) = accumpos(z, inpLUT(idx));
        x(:) = accumpos(x, ytmp);
        y(:) = accumneg(y, xtmp);
    else
        z(:) = accumneg(z, inpLUT(idx));
        x(:) = accumneg(x, ytmp);
        y(:) = accumpos(y, xtmp);
    end
    xtmp = bitsra(x, idx); % bit-shift-right for multiply by 2^(-idx)
    ytmp = bitsra(y, idx); % bit-shift-right for multiply by 2^(-idx)
end

Вычисления синусов и косинусов на основе CORDIC с использованием нормализованных входных данных

Вычисление синуса и косинуса с использованием ядра вращения CORDIC

Разумный выбор начальных значений позволяет алгоритму режима вращения ядра CORDIC непосредственно вычислять одновременно как синус, так и косинус.

Сначала выполняются следующие этапы инициализации:

После итераций эти начальные значения приводят к следующим выводам в качестве подходов:

Другие аппроксимации функций на основе ядра вращения возможны посредством предварительной и последующей обработки и с использованием других исходных условий (см. [1,2]).

Алгоритм CORDIC обычно выполняется через заданное (постоянное) число итераций, так как завершение ранних итераций CORDIC нарушит конвейерный код, и усиление CORDIC не будет постоянным, потому что будет изменяться.

Для очень больших значений алгоритм CORDIC гарантированно сходится, но не всегда монотонно. Обычно можно достичь большей точности, увеличив общее число итераций.

Пример

Предположим, что у вас есть датчик угла поворота (например, в сервоприводе), который использует отформатированные целочисленные значения для представления измеренных углов поворота. Также предположим, что имеется 16-разрядная целочисленная арифметическая единица, которая может выполнять операции сложения, вычитания, сдвига и памяти. С помощью такого устройства можно реализовать ядро вращения CORDIC для эффективного вычисления косинуса и синуса (эквивалентно декартовым координатам X и Y) по значениям угла датчика без использования умножений или больших таблиц поиска.

sumWL  = 16; % CORDIC sum word length
thNorm = -1.0:(2^-8):1.0; % Normalized [-1.0, 1.0] angle values
theta  = fi(thNorm, 1, sumWL); % Fixed-point angle values (best precision)

z_NT   = numerictype(theta);             % Data type for Z
xyNT   = numerictype(1, sumWL, sumWL-2); % Data type for X-Y
x_out  = fi(zeros(size(theta)), xyNT);   % X array pre-allocation
y_out  = fi(zeros(size(theta)), xyNT);   % Y array pre-allocation
z_out  = fi(zeros(size(theta)), z_NT);   % Z array pre-allocation

niters = 13; % Number of CORDIC iterations
inpLUT = fi(atan(2 .^ (-((0:(niters-1))'))) .* (2/pi), z_NT); % Normalized
AnGain = prod(sqrt(1+2.^(-2*(0:(niters-1))))); % CORDIC gain
inv_An = 1 / AnGain; % 1/A_n inverse of CORDIC gain

for idx = 1:length(theta)
    % CORDIC rotation kernel iterations
    [x_out(idx), y_out(idx), z_out(idx)] = ...
        fidemo.cordic_rotation_kernel(...
            fi(inv_An, xyNT), fi(0, xyNT), theta(idx), inpLUT, niters);
end

% Plot the CORDIC-approximated sine and cosine values
figure;
subplot(411);
plot(thNorm, x_out);
axis([-1 1 -1 1]);
title('Normalized X Values from CORDIC Rotation Kernel Iterations');
subplot(412);
thetaRadians = pi/2 .* thNorm; % real-world range [-pi/2 pi/2] angle values
plot(thNorm, cos(thetaRadians) - double(x_out));
title('Error between MATLAB COS Reference Values and X Values');
subplot(413);
plot(thNorm, y_out);
axis([-1 1 -1 1]);
title('Normalized Y Values from CORDIC Rotation Kernel Iterations');
subplot(414);
plot(thNorm, sin(thetaRadians) - double(y_out));
title('Error between MATLAB SIN Reference Values and Y Values');

Ссылки