Введение

CORDIC - аббревиатура от COORDinate Rotation DIgital Computer. Алгоритм CORDIC на основе ротации Givens (см. [1,2]) является одним из наиболее аппаратных эффективных алгоритмов, поскольку требует только итеративных операций добавления сдвига. Алгоритм CORDIC исключает необходимость явных умножителей и подходит для вычисления множества функций, таких как синус, косинус, арксинус, арккосинус, арктангенс, векторная величина, деление, квадратный корень, гиперболические и логарифмические функции.

Алгоритм CORDIC с фиксированной точкой требует выполнения следующих операций:

Алгоритм ядра CORDIC с использованием режима вычисления векторизации

Для вычисления можно использовать алгоритм вычисления векторного режима CORDIC atan(y/x)вычислять декартово-полярные преобразования в декартовы и для других операций. В режиме векторизации вращатель CORDIC поворачивает входной вектор в направлении положительной оси X для минимизации составляющей остаточного вектора. Для каждой итерации, если координата остаточного вектора положительна, вращатель CORDIC поворачивается по часовой стрелке (с использованием отрицательного угла); в противном случае он поворачивается против часовой стрелки (с использованием положительного угла). Каждый поворот использует постепенно меньшее значение угла. Если угловой аккумулятор инициализирован равным 0, в конце итераций накопленный угол поворота является углом исходного входного вектора.

В режиме векторизации уравнения CORDIC:

- угловой аккумулятор

где если, и иначе;

и является общим числом итераций.

по мере приближения:

Где:

.

Обычно выбирается как достаточно большое постоянное значение. Таким образом, может быть предварительно вычислено.

Эффективная реализация алгоритма ядра векторизации CORDIC MATLAB

Ниже приведен пример реализации кода MATLAB алгоритма CORDIC Vectoring Kernel (для случая скаляра x, y, и z). Этот же код может использоваться как для операций с фиксированной запятой, так и для операций с плавающей запятой.

Ядро векторизации CORDIC

function [x, y, z] = cordic_vectoring_kernel(x, y, z, inpLUT, n)
% Perform CORDIC vectoring kernel algorithm for N iterations.
xtmp = x;
ytmp = y;
for idx = 1:n
    if y < 0
        x(:) = accumneg(x, ytmp);
        y(:) = accumpos(y, xtmp);
        z(:) = accumneg(z, inpLUT(idx));
    else
        x(:) = accumpos(x, ytmp);
        y(:) = accumneg(y, xtmp);
        z(:) = accumpos(z, inpLUT(idx));
    end
    xtmp = bitsra(x, idx); % bit-shift-right for multiply by 2^(-idx)
    ytmp = bitsra(y, idx); % bit-shift-right for multiply by 2^(-idx)
end

Декартово-полярное преобразование на основе CORDIC с использованием нормализованных входных единиц

Декартово-полярное вычисление с использованием ядра векторизации CORDIC

Разумный выбор начальных значений позволяет алгоритму режима векторизации ядра CORDIC непосредственно вычислять величину и угол.

Входные аккумуляторы инициализируются по значениям входных координат:

Угловой аккумулятор инициализируется в нуль:

После итераций эти начальные значения приводят к следующим выводам в качестве подходов:

Другие аппроксимации функций на основе векторизации-ядра возможны посредством предварительной и последующей обработки и с использованием других исходных условий (см. [1,2]).

Пример

Предположим, что имеются некоторые измерения декартовых (X, Y) данных, нормализованных к значениям между [-1, 1), которые необходимо преобразовать в полярные (величина, угол) координаты. Также предположим, что имеется 16-разрядная целочисленная арифметическая единица, которая может выполнять операции сложения, вычитания, сдвига и памяти. С помощью такого устройства можно реализовать ядро векторизации CORDIC для эффективного вычисления величины и угла из входных (X, Y) значений координат без использования умножений или больших таблиц поиска.

sumWL  = 16; % CORDIC sum word length
thNorm = -1.0:(2^-8):1.0; % Also using normalized [-1.0, 1.0] angle values
theta  = fi(thNorm, 1, sumWL); % Fixed-point angle values (best precision)
z_NT   = numerictype(theta);   % Data type for Z
xyCPNT = numerictype(1,16,15); % Using normalized X-Y range [-1.0, 1.0)
thetaRadians = pi/2 .* thNorm; % real-world range [-pi/2 pi/2] angle values
inXfix = fi(0.50 .* cos(thetaRadians), xyCPNT); % X coordinate values
inYfix = fi(0.25 .* sin(thetaRadians), xyCPNT); % Y coordinate values

niters = 13; % Number of CORDIC iterations
inpLUT = fi(atan(2 .^ (-((0:(niters-1))'))) .* (2/pi), z_NT); % Normalized
z_c2p  = fi(zeros(size(theta)), z_NT);   % Z array pre-allocation
x_c2p  = fi(zeros(size(theta)), xyCPNT); % X array pre-allocation
y_c2p  = fi(zeros(size(theta)), xyCPNT); % Y array pre-allocation

for idx = 1:length(inXfix)
    % CORDIC vectoring kernel iterations
    [x_c2p(idx), y_c2p(idx), z_c2p(idx)] = ...
        fidemo.cordic_vectoring_kernel(...
            inXfix(idx), inYfix(idx), fi(0, z_NT), inpLUT, niters);
end

% Get the Real World Value (RWV) of the CORDIC outputs for comparison
% and plot the error between the (magnitude, angle) values
AnGain       = prod(sqrt(1+2.^(-2*(0:(niters-1))))); % CORDIC gain
x_c2p_RWV    = (1/AnGain) .* double(x_c2p); % Magnitude (scaled by CORDIC gain)
z_c2p_RWV    =   (pi/2)   .* double(z_c2p); % Angles (in radian units)
[thRWV,rRWV] = cart2pol(double(inXfix), double(inYfix)); % MATLAB reference
magnitudeErr = rRWV - x_c2p_RWV;
angleErr     = thRWV - z_c2p_RWV;
figure;
subplot(411);
plot(thNorm, x_c2p_RWV);
axis([-1 1 0.25 0.5]);
title('CORDIC Magnitude (X) Values');
subplot(412);
plot(thNorm, magnitudeErr);
title('Error between Magnitude Reference Values and X Values');
subplot(413);
plot(thNorm, z_c2p_RWV);
title('CORDIC Angle (Z) Values');
subplot(414);
plot(thNorm, angleErr);
title('Error between Angle Reference Values and Z Values');

Ссылки