Функция Розенброка

В этом примере в качестве функции фитнеса используется функция Розенброка (также известная как вторая функция Дежонга):

$$f(x)\mathrm{}\mathrm{=}\mathrm{}100\mathrm{}(x(2{)}^{\mathrm{}}{-}^{\mathrm{x}}(1)2\mathrm{)}{2}^{\mathrm{}}$$+ (1-x (1)) 2.

Функция Розенброка печально известна в оптимизации из-за медленной сходимости большинство методов проявляют при попытке минимизировать эту функцию. Функция Розенброка имеет уникальный минимум в точке x * = (1,1), где она имеет значение функции $$f{}^{(}x\mathrm{}$$*) = 0.

Код функции Розенброка находится в dejong2fcn файл.

type dejong2fcn.m

function scores = dejong2fcn(pop)
%DEJONG2FCN Compute DeJongs second function.
%This function is also known as Rosenbrock's function

%   Copyright 2003-2004 The MathWorks, Inc.

scores = zeros(size(pop,1),1);
for i = 1:size(pop,1)
    p = pop(i,:);
    scores(i) = 100 * (p(1)^2 - p(2)) ^2 + (1 - p(1))^2;
end

Постройте график функции Розенброка в диапазоне -2 < = x (1) < = 2; -2 < = x (2) < = 2.

plotobjective(@dejong2fcn,[-2 2;-2 2]);

Решение генетического алгоритма

Во-первых, использовать ga один, чтобы найти минимум функции Розенброка.

FitnessFcn = @dejong2fcn;
numberOfVariables = 2;

Включите функции графика для мониторинга процесса оптимизации.

options = optimoptions(@ga,'PlotFcn',{@gaplotbestf,@gaplotstopping});

Задайте поток случайных чисел для воспроизводимости и выполните команду ga с использованием опций.

rng default
[x,fval] = ga(FitnessFcn,numberOfVariables,[],[],[],[],[],[],[],options)

Optimization terminated: average change in the fitness value less than options.FunctionTolerance.

x = 1×2

    0.3454    0.1444

fval = 0.4913

Используя критерии остановки по умолчанию, ga не обеспечивает очень точного решения. Можно изменить критерии остановки, чтобы попытаться найти более точное решение, но ga требуется много оценок функций для приближения к глобальному оптимуму x * = (1,1).

Вместо этого выполните более эффективный локальный поиск, который начинается с ga останавливается с помощью опции гибридной функции в ga.

Добавление гибридной функции

Гибридная функция начинается с точки, где ga останавливается. Варианты гибридных функций: fminsearch, patternsearch, или fminunc. Поскольку этот пример оптимизации является гладким и неограниченным, используйте fminunc в качестве гибридной функции. Обеспечить fminunc с опциями графика в качестве дополнительного аргумента при определении гибридной функции.

fminuncOptions = optimoptions(@fminunc,'PlotFcn',{'optimplotfval','optimplotx'});
options = optimoptions(options,'HybridFcn',{@fminunc, fminuncOptions});

Управляемый ga снова с fminunc в качестве гибридной функции.

[x,fval,exitflag,output] = ga(FitnessFcn,numberOfVariables,[],[],[],[],[],[],[],options)

Optimization terminated: average change in the fitness value less than options.FunctionTolerance.

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less than
the value of the optimality tolerance.

x = 1×2

    1.0000    1.0000

fval = 1.7215e-11

exitflag = 1

output = struct with fields:
      problemtype: 'unconstrained'
         rngstate: [1x1 struct]
      generations: 51
        funccount: 2534
          message: 'Optimization terminated: average change in the fitness value less than options.FunctionTolerance....'
    maxconstraint: []
       hybridflag: 1

ga график показывает лучшие и средние значения населения в каждом поколении. Заголовок графика определяет наилучшее значение, найденное ga когда она остановится. Гибридная функция fminunc начинается с лучшей точки, найденной ga. fminunc график показывает решение x и fval, что является результатом использования ga и fminunc вместе. В этом случае использование гибридной функции повышает точность и эффективность решения. output.hybridflag поле показывает, что fminunc останавливается с флагом выхода 1, указывающим, что x является истинным локальным минимумом.