Уравнения кода

Уравнения для ${\mathit{v}}^{}\prime \mathit{}($x) ${\mathit{и}}^{}C\mathit{}\prime$ (x) зависят от решаемой области. Для многоточечных граничных задач производная функция должна принимать третий входной аргументregion, который используется для идентификации области, где оценивается производная. Решатель нумерует области слева направо, начиная с 1.

Создание функции для кодирования уравнений с сигнатурой dydx = f(x,y,region,p), где:

Оператор switch используется для возврата различных уравнений в зависимости от области решения. Функция:

function dydx = f(x,y,region,p) % equations being solved
n = p(1);
eta = p(4);

dydx = zeros(2,1);
dydx(1) = (y(2) - 1)/n;

switch region
    case 1    % x in [0 1]
        dydx(2) = (y(1)*y(2) - x)/eta;
    case 2    % x in [1 lambda]
        dydx(2) = (y(1)*y(2) - 1)/eta;
end
end

Примечание.В конце примера все функции включаются как локальные.

Граничные условия кода

Решение двух дифференциальных уравнений первого порядка в двух областях требует четырех граничных условий. Два из этих условий вытекают из первоначальной проблемы:

$\mathit{v}\mathrm{(}0)\mathrm{}$= 0,

$\mathit{C}(\lambda )\mathrm{}-1$= 0.

Два других условия обеспечивают непрерывность левого и правого решений в точке интерфейса $\mathit{x}\mathrm{=}$1:

${\mathit{}}_{\mathit{vL}}\mathrm{(}1\left){\mathit{}}_{\mathit{-}}\mathrm{vR}\right(1$) = 0,

${\mathit{}}_{\mathit{CL}}\mathrm{(}1\left){\mathit{}}_{\mathit{-}}\mathrm{CR}\right(1$) = 0.

Для многоточечных BVP, аргументы граничных условий функции YL и YR стать матрицами. В частности, kВ-й колонне YL(:,k) - решение на левой границе kВ-й регион. Аналогично, YR(:,k) - решение на правой границе kВ-й регион.

В этой задаче $\mathit{y}\mathrm{(}0$) аппроксимируется YL(:,1), в то время как $\mathit{y}(\lambda$) аппроксимируется YR(:,end). Непрерывность решения при $\mathit{x}\mathrm{=}$ 1 требует, чтобыYR(:,1) = YL(:,2).

Функция, которая кодирует остаточное значение четырех граничных условий,

function res = bc(YL,YR)
res = [YL(1,1)               % v(0) = 0
       YR(1,1) - YL(1,2)     % Continuity of v(x) at x=1
       YR(2,1) - YL(2,2)     % Continuity of C(x) at x=1
       YR(2,end) - 1];       % C(lambda) = 1
end

Начальное предположение формы

Для многоточечных BVP граничные условия автоматически применяются в начале и конце интервала интегрирования. Однако необходимо указать двойные записи в xmesh для других точек интерфейса. Простое предположение, удовлетворяющее граничным условиям, является постоянным предположением y = [1; 1].

xc = 1;
xmesh = [0 0.25 0.5 0.75 xc xc 1.25 1.5 1.75 2];
yinit = [1; 1];
sol = bvpinit(xmesh,yinit);

Уравнение решения

Определите значения постоянных параметров и поместите их в вектор p. Предоставление функции bvp5c с синтаксисом @(x,y,r) f(x,y,r,p) для обеспечения вектора параметров.

Вычислите решение для нескольких значений, $$используя каждое решение в качестве начального предположения для следующего. Вычислите для каждого значения, $\mathrm{равного}$, значение осмолярности $\mathrm{Os}\frac{\mathrm{=}}{\mathit{}\mathrm{1v}}$(λ). Для каждой итерации цикла сравните вычисленное значение с приблизительным аналитическим решением.

lambda = 2;
n = 5e-2;
for kappa = 2:5
   eta = lambda^2/(n*kappa^2);
   p = [n kappa lambda eta];
   sol = bvp5c(@(x,y,r) f(x,y,r,p), @bc, sol);
   K2 = lambda*sinh(kappa/lambda)/(kappa*cosh(kappa));
   approx = 1/(1 - K2);
   computed = 1/sol.y(1,end);
   fprintf('  %2i    %10.3f     %10.3f \n',kappa,computed,approx);
end

   2         1.462          1.454 
   3         1.172          1.164 
   4         1.078          1.071 
   5         1.039          1.034 

Решение для построения графика

Постройте график компонентов решения для $\mathit{v}\mathit{(}x$) и $\mathit{}C\mathit{}($x) и вертикальной линии в