Обзор

Существует множество различных типов детекторов, доступных для использования в различных приложениях. Несколько наиболее популярных из них - байесовский детектор, детектор максимального правдоподобия (ML) и детектор Неймана-Пирсона (NP). В радиолокационных и гидроакустических применениях НП является наиболее популярным выбором, поскольку может обеспечить вероятность ложной тревоги (Pfa) на определённом уровне.

В этом примере мы ограничиваем наше обсуждение сценарием, где сигнал детерминирован и шум белый и гауссово распределен. И сигнал, и шум сложны.

В примере обсуждаются следующие темы и их взаимосвязи: когерентное обнаружение, некогерентное обнаружение, согласованная фильтрация и кривые рабочих характеристик приемника (ROC).

Модель сигнала и шума

Принимаемый сигнал принимается по модели

где s (t) - сигнал, а n (t) - шум. Не теряя общности, мы предполагаем, что мощность сигнала равна 1 Вт и мощность шума определяется соответственно на основе отношения сигнал/шум (SNR). Например, для SNR, равного 10 дБ, мощность шума, т.е. дисперсия шума будет равна 0,1 Вт.

Сопоставленный фильтр

Согласованный фильтр часто используется на передней стороне приемника для улучшения SNR. С точки зрения дискретного сигнала согласованные коэффициенты фильтра просто задаются комплексно сопряженными реверсированными выборками сигнала.

При работе со сложными сигналами и шумами существуют два типа приемников. Первый вид - когерентный приемник, который предполагает, что и амплитуда, и фаза принятого сигнала известны. Это приводит к полному совпадению между согласованными коэффициентами фильтра и сигналом. Следовательно, согласованные коэффициенты фильтра могут рассматриваться как сопряженные.

Заметим, что хотя общий выход y по-прежнему является сложной величиной, сигнал полностью характеризуется | $$s{}^{\mathrm{|}}$$2, которое является вещественным числом и содержится в действительной части y. Следовательно, детектор, следующий за согласованным фильтром в когерентном приемнике, обычно использует только реальную часть принятого сигнала. Такой приемник обычно обеспечивает наилучшую производительность. Однако когерентный приемник уязвим к фазовым ошибкам. Кроме того, когерентный приемник также требует дополнительных аппаратных средств для выполнения фазового детектирования. Для некогерентного приемника принятый сигнал моделируется как копия исходного сигнала со случайной фазовой ошибкой. При некогерентном принятом сигнале обнаружение после согласованного фильтра обычно основано на мощности или величине сигнала, так как для полного определения сигнала необходимы как реальные, так и мнимые части.

Датчик

Целевая функция правила решения NP может быть записана как

то есть для максимизации вероятности обнаружения, Pd, при ограничении вероятности ложной тревоги, Pfa на заданном уровне a. Переменная g в уравнении является множителем Лагранжа. Детектор NP может быть сформирован как тест отношения правдоподобия (LRT) следующим образом:

В этой конкретной ситуации NP, поскольку ложная тревога вызвана только шумом, порог Th определяется шумом для обеспечения фиксированного Pfa. Общую форму LRT, показанную выше, часто трудно оценить. В реальных приложениях мы часто используем простую для вычисления величину из сигнала, то есть достаточную статистику, чтобы заменить отношение двух функций плотности вероятности. Например, достаточная статистика z может быть такой же простой, как

затем упрощенный детектор становится

T - порог достаточной статистики z, действующий точно так же, как порог Th для LRT. Поэтому порог не только связан с распределениями вероятностей, но и зависит от выбора достаточной статистики.

Обнаружение одиночной выборки с использованием когерентного приемника

Сначала мы рассмотрим пример обнаружения сигнала в шуме, используя только одну выборку.

Предположим, что сигнал является единичной выборкой мощности, и SNR равен 3 дБ. Используя моделирование Монте-Карло с 100000 испытаниями, мы генерируем сигнал и шум как

% fix the random number generator
rstream = RandStream.create('mt19937ar','seed',2009);

Ntrial = 1e5;             % number of Monte-Carlo trials
snrdb = 3;                % SNR in dB
snr = db2pow(snrdb);      % SNR in linear scale
spower = 1;               % signal power is 1
npower = spower/snr;           % noise power
namp = sqrt(npower/2);    % noise amplitude in each channel
s = ones(1,Ntrial);       % signal  
n = namp*(randn(rstream,1,Ntrial)+1i*randn(rstream,1,Ntrial));  % noise

Заметим, что шум сложный, белый и гауссов распределен.

Если принятый сигнал содержит цель, он задается

x = s + n;

Согласованный фильтр в этом случае тривиален, так как сам сигнал является единичной выборкой.

mf = 1;

В этом случае согласованное усиление фильтра равно 1, поэтому усиление SNR отсутствует.

Теперь мы проводим обнаружение и исследуем работу детектора. Для когерентного приемника принятый сигнал после согласованного фильтра задается

y = mf'*x;  % apply the matched filter

Достаточная статистика, т.е. значение, используемое для сравнения с порогом обнаружения, для когерентного детектора является действительной частью принятого сигнала после согласованного фильтра, т.е.

z = real(y);

Давайте предположим, что мы хотим исправить Pfa на 1e-3. Учитывая достаточную статистику, z, правило принятия решения становится

где порог T связан с Pfa как

В уравнении N - мощность сигнала, а M - коэффициент усиления согласованного фильтра. Следует отметить, что T является порогом сигнала после согласованного фильтра, и NM представляет мощность шума после согласованного фильтра, поэтому $$\frac{}{\sqrt{\mathrm{TNM}}}$$может рассматриваться как отношение между сигналом и амплитудой шума, то есть оно связано с отношением сигнал/шум, SNR. Поскольку SNR обычно упоминается как отношение между мощностью сигнала и шумом, учитывая единицы каждой величины в этом выражении, мы можем видеть, что

Поскольку N и M фиксированы, как только выбрана форма шума и сигнала, существует соответствие между T и SNR. Если T является порогом сигнала, SNR может рассматриваться как порог отношения сигнал/шум. Следовательно, пороговое уравнение может быть переписано в виде

Требуемый порог SNR, заданный сложным белым гауссовым шумом для детектора NP, может быть вычислен с использованием функции npwgnthresh следующим образом:

Pfa = 1e-3;
snrthreshold = db2pow(npwgnthresh(Pfa, 1,'coherent'));

Следует отметить, что этот порог, хотя и в форме значения SNR, отличается от SNR принятого сигнала. Пороговое SNR представляет собой вычисленное значение, основанное на желаемой характеристике обнаружения, в этом случае Pfa; в то время как принятый сигнал SNR является физической характеристикой сигнала, определяемой средой распространения, формой сигнала, мощностью передачи и т.д.

Истинный порог T затем может быть получен из этого порога SNR как

mfgain = mf'*mf;
% To match the equation in the text above
% npower - N
% mfgain - M
% snrthreshold - SNR
threshold = sqrt(npower*mfgain*snrthreshold);

Обнаружение выполняется путем сравнения сигнала с порогом. Поскольку исходный сигнал s представлен в принятом сигнале, успешное обнаружение происходит, когда принятый сигнал проходит порог, т.е. z > T. Способность детектора обнаруживать цель часто измеряется Pd. При моделировании Монте-Карло Pd может быть вычислено как отношение между количеством раз, когда сигнал проходит порог, и количеством общих испытаний.

Pd = sum(z>threshold)/Ntrial

Pd = 0.1390

С другой стороны, ложный аварийный сигнал возникает, когда обнаружение показывает, что цель есть, но на самом деле ее нет, то есть принятый сигнал проходит порог, когда присутствует только шум. Вероятность ошибки детектора при обнаружении цели, если ее нет, задается Pfa.

x = n;
y = mf'*x;
z = real(y);
Pfa = sum(z>threshold)/Ntrial

Pfa = 9.0000e-04

что соответствует нашим требованиям.

Чтобы увидеть соотношение между SNR, Pd и Pfa на графике, мы можем построить теоретическую кривую ROC, используя функцию rocsnr для значения SNR 3 дБ как

rocsnr(snrdb,'SignalType','NonfluctuatingCoherent','MinPfa',1e-4);

Из рисунка видно, что измеренные Pd = 0,1390 и Pfa = 0,0009, полученные выше для значения SNR 3 дБ, соответствуют теоретической точке на кривой ROC.

Обнаружение одного образца с использованием некогерентного приемника

Некогерентный приемник не знает фазу принятого сигнала, поэтому для целевого настоящего случая сигнал x содержит фазовый член и определяется как

% simulate the signal
x = s.*exp(1i*2*pi*rand(rstream,1,Ntrial)) + n;
y = mf'*x;

Когда используется некогерентный приемник, величина, используемая для сравнения с порогом, представляет собой мощность (или величину) принятого сигнала после согласованного фильтра. В этом моделировании мы выбираем величину в качестве достаточной статистики.

z = abs(y);

Учитывая наш выбор достаточной статистики z, порог связан с Pfa уравнением

Пороговое значение отношения сигнал/шум SNR для детектора NP может быть вычислено с использованием npwgnthresh следующим образом:

snrthreshold = db2pow(npwgnthresh(Pfa, 1,'noncoherent'));

Пороговое значение T получают из SNR, как и ранее.

mfgain = mf'*mf;
threshold = sqrt(npower*mfgain*snrthreshold);

Опять же, Pd может быть получен с использованием

Pd = sum(z>threshold)/Ntrial

Pd = 0.0583

Заметим, что этот результирующий Pd уступает производительности, которую мы получаем от когерентного приемника.

Для случая отсутствия цели принятый сигнал содержит только шум. Мы можем рассчитать Pfa, используя моделирование Монте-Карло как

x = n;
y = mf'*x;
z = abs(y);
Pfa = sum(z>threshold)/Ntrial

Pfa = 9.5000e-04

Кривая ROC для некогерентного приемника изображена как

rocsnr(snrdb,'SignalType','NonfluctuatingNoncoherent','MinPfa',1e-4);

Можно видеть, что производительность некогерентного детектора приемника ниже, чем у когерентного приемника.

Резюме

В этом примере показано, как моделировать и выполнять различные методы обнаружения с помощью MATLAB ®. Пример иллюстрирует взаимосвязь между несколькими часто встречающимися переменными при обнаружении сигнала, а именно вероятностью обнаружения (Pd), вероятностью ложного аварийного сигнала (Pfa) и отношением сигнал/шум (SNR). В частности, пример вычисляет рабочие характеристики детектора с использованием моделирования Монте-Карло и проверяет результаты метрик с помощью кривых рабочих характеристик приемника (ROC).

При обнаружении сигнала мы сталкиваемся с двумя значениями SNR. Первым является SNR одиночной выборки данных. Это значение SNR появилось на графике кривой ROC. Точка на ROC дает требуемый SNR одиночного образца, необходимый для достижения соответствующих Pd и Pfa. Однако это НЕ порог SNR, используемый для обнаружения. Используя правило решения Неймана-Пирсона, порог SNR, второе значение SNR, которое мы видим при обнаружении, определяется распределением шума и требуемым уровнем Pfa. Поэтому такой порог ОСШ действительно соответствует оси Pfa на кривой ROC. Если зафиксировать SNR одной выборки, как показано на вышеприведенных графиках ROC кривой, каждая точка на кривой будет соответствовать значению Pfa, которое в свою очередь переводится в пороговое значение SNR. Использование этого конкретного порога SNR для выполнения обнаружения приведет к соответствующему Pd.

Следует отметить, что порог SNR не может быть порогом, используемым непосредственно в фактическом детекторе. Фактический детектор обычно использует простую для вычисления достаточную статистическую величину для выполнения обнаружения. Таким образом, истинный порог должен быть выведен из вышеупомянутого порога SNR соответственно, чтобы он соответствовал выбору достаточной статистики.

В этом примере выполняется обнаружение с использованием только одной выборки принятого сигнала. Следовательно, результирующий Pd является довольно низким, и согласованный фильтр не обеспечивает никакого усиления обработки. Чтобы улучшить Pd и воспользоваться преимуществом коэффициента усиления обработки согласованного фильтра, можно использовать множество выборок или даже множество импульсов принятого сигнала. Дополнительные сведения об обнаружении сигнала с помощью нескольких выборок или импульсов см. в примере «Обнаружение сигнала с помощью нескольких выборок».