Электрический дипольный момент и мощность излучения

Открыть сценарий в реальном времени

Этот пример находит среднюю мощность излучения двух притягивающих зарядов, движущихся по эллиптической орбите (электрический диполь).

Общий центр масс

Два противоположных обвинения, e1 и e2, образуют электрический диполь. Массы заряженных частиц составляют m1 и m2соответственно. Для общего центра масс m1*r1 + m2*r2 = 0, где r1 и r2 - векторы расстояния до заряженных частиц. Расстояние между заряженными частицами составляет r = r1 - r2.

syms m1 m2 e1 e2 r1 r2 r
[r1,r2] = solve(m1*r1 + m2*r2 == 0, r == r1 - r2, r1, r2)

r1 = 
 $\frac{m_{2} r}{m_{1} + m_{2}}$

r2 = 
 $- \frac{m_{1} r}{m_{1} + m_{2}}$

Дипольный момент

Найдите дипольный момент этой системы:

d = e1*r1 + e2*r2;
simplify(d)

ans = 
 $\frac{r (e_{1} m_{2} - e_{2} m_{1})}{m_{1} + m_{2}}$

Мощность излучения на единицу времени

По формуле Лармора суммарная мощность, излучаемая за единицу времени, составляет $J \frac{=}{^{}} {_{}^{}}^{23c3d}$ 2, или, по расстоянию между заряженными $частицами \frac{,}{J^{}} \frac{=}{} {\frac{23c3m1m2m1}{+} \frac{m2}{(}}^{} {_{}^{}}^{}$ e1m1-e2m2) 2r 2. Здесь точка означает производную по времени. $_{}^{} \frac{}{^{}}$ Закон Кулона mr δ= -αr2 позволяет найти значения $_{}^{}$ ускорения r в терминах уменьшенной массы $\frac{}{}$ системы, m = m1m2m1 + m2, и произведения $зарядов$ частиц, α = | e1e2 |.

alpha = sym('alpha');
syms m c
m = m1*m2/(m1 + m2);
r2 = -alpha/(m*r^2);

J = simplify(subs(2/(3*c^3)*d^2, r, r2))

J = 
 $\frac{2 α^{2} {(e_{1} m_{2} - e_{2} m_{1})}^{2}}{3 c^{3} {m_{1}}^{2} {m_{2}}^{2} r^{4}}$

Параметры эллиптической орбиты

Главные полуоси а и $ϵ$ эксцентриситета эллиптической орбиты задаются следующими выражениями, где E - общая орбитальная энергия, а $^{}_{}^{L=mr2ϕ˙}$ - угловой момент.

syms E L phi
a = alpha/(2*E)

a = 
 $\frac{α}{2 E}$

eccentricity = sqrt(1-2*E*L^2/(m*alpha^2))

eccentricity = 
 $\sqrt{1 - \frac{2 E L^{2} (m_{1} + m_{2})}{α^{2} m_{1} m_{2}}}$

Уравнение эллиптической орбиты $1+ϵcosϕ=a (^{} 1-ϵ2)$ /r позволяет выразить расстояниеr в терминах угла phi.

r = a*(1 - eccentricity^2)/(1 + eccentricity*cos(phi));

Усредненная мощность излучения

Средняя мощность излучения двух заряженных частиц, движущихся по эллиптической орбите, является интегралом мощности излучения за один полный цикл движения, нормируемого периодом движения, $_{}_{}^{} Javg=1/T∫0TJdt$ . Период движения T является

T = 2*pi*sqrt(m*a^3/alpha);

Изменение переменной интеграции t кому phi, получается следующий результат. Используйте simplify функция для получения более короткого результата интеграции. Здесь используйте subs оценить J.

J = subs(J);
Javg = simplify(1/T*int(J*m*r^2/L, phi, 0, 2*pi))

Javg = 
 $- \frac{2 \sqrt{2} α^{2} {(e_{1} m_{2} - e_{2} m_{1})}^{2} (2 E L^{2} m_{1} + 2 E L^{2} m_{2} - 3 α^{2} m_{1} m_{2})}{3 L^{5} c^{3} {(m_{1} + m_{2})}^{3} \sqrt{\frac{α^{2} m_{1} m_{2}}{E^{3} (m_{1} + m_{2})}}}$

Если одна частица намного тяжелее другой

Оцените среднюю мощность излучения электрического диполя с одной частицей намного тяжелее, чем выше, m1>>m2. Для этого вычислите предел выражения для мощности излучения, предполагая, что m1 стремится к бесконечности.

limJ = limit(Javg, m1, Inf);
simplify(limJ)

ans = 
 $- \frac{2 \sqrt{2} α^{2} {e_{2}}^{2} (2 E L^{2} - 3 α^{2} m_{2})}{3 L^{5} c^{3} \sqrt{\frac{α^{2} m_{2}}{E^{3}}}}$

Документация