Оценка средней мощности ветровой турбины

Открыть сценарий в реальном времени

В этом примере для изучения и получения параметрического аналитического выражения для средней мощности, генерируемой ветряной турбиной, используются символьные математические инструменты и инструменты статистики и машинного обучения.

Параметрическое уравнение может использоваться для оценки различных конфигураций ветровых турбин и площадок ветроэлектростанций. Дополнительные сведения см. в разделе Оценка ресурсов ветра.

Фон

Общую мощность, подаваемую на ветряную турбину, можно оценить, взяв производную кинетической энергии ветра. Это приводит к следующему выражению:

$_{Pw} \frac{= {startA}^{}}{}$ u32 (1)

A - площадь стреловидного сечения лопаток турбины, в $^{м2;}$
start= = плотность воздуха, в $^{кг/м3}$
u = скорость ветра, в $м/с$

Процесс преобразования энергии ветра в электроэнергию приводит к потерям эффективности, как описано на диаграмме ниже.

Выходная электрическая мощность практической ветровой турбины может быть описана с использованием следующего уравнения:

$_{Pe} \frac{=_{} Ctot^{}}{}$ Au32 (2), где Ctot $_{=} общая эффективность =_{}_{}_{CpCtCg}$

Общий КПД составляет от 0,3 до 0,5 и изменяется в зависимости от скорости ветра и скорости вращения турбины. Для фиксированной скорости вращения существует номинальная скорость ветра, при которой электрическая мощность, вырабатываемая ветровой турбиной, близка к ее максимуму ( $_{Пер}$ ), и общая эффективность в этой точке обозначается $_{CtotR}$ .

$_{} \frac{_{}^{Per=CtotR ρ Au32}}{}$ (3)

Предполагая фиксированную скорость вращения, выходную электрическую мощность ветровой турбины можно оценить, используя следующий профиль:

Где

$_{ur}$ = номинальная скорость ветра
$_{uc}$ = скорость включения, скорость, при которой выходная электрическая мощность поднимается выше нуля, и начинается производство электроэнергии
$_{uf}$ = скорость ветра, скорость, с которой турбина отключается для предотвращения повреждения конструкции

Как видно на чертеже, мы предполагаем, что выходная мощность увеличивается между $_{uc}$ и $_{ur}$ , затем находится на постоянном максимальном значении между $_{ur}$ и $_{uf}$ . Выходная мощность равна нулю для всех остальных условий.

Производное уравнение для средней мощности ветровой турбины

I. Определение кусочного выражения для власти

Определим кусочную функцию, описывающую мощность турбины.

syms Per C_1 C_2 k u u_c u_f u_r 
Pe = piecewise(u < u_c, 0, u_c <= u <= u_r, C_1 + C_2 * u^k, (u_r <= u) <= u_f, Per, u_f < u, 0)

Pe = 
 ${\begin{array}{cl} 0 & if u < u_{c} \\ C_{1} + C_{2} u^{k} & if u_{c} \leq u \land u \leq u_{r} \\ Per & if u \leq u_{f} \land u_{r} \leq u \\ 0 & if u_{f} < u \end{array}$

Где переменные $_{C1}$ и $_{C2}$ определяются следующим образом:

C_1 = (Per * u_c^k)/(u_c^k - u_r^k)

C_1 = 
 $\frac{Per {u_{c}}^{k}}{{u_{c}}^{k} - {u_{r}}^{k}}$

C_2 = Per/(u_r^k - u_c^k)

C_2 = 
 $- \frac{Per}{{u_{c}}^{k} - {u_{r}}^{k}}$

II. Определение внешних условий ветра

Номинальная выходная мощность обеспечивает хорошую индикацию того, какую мощность способна производить ветряная турбина, однако мы хотели бы оценить, какую мощность (в среднем) на самом деле будет обеспечивать ветряная турбина. Для расчета средней мощности необходимо учитывать внешние ветровые условия. Распределение Вейбулла хорошо справляется с моделированием дисперсии ветра, поэтому профиль ветра можно оценить, используя следующую функцию плотности вероятности:

$f (u) \frac{\frac{=}{} ({\frac{ba}{)}}^{(ua}}{)^{{\frac{b}{} -}^{}}}$ 1e (ua) b (4)

В целом, большие значения «a» указывают на более высокую среднюю скорость ветра, а большие значения «b» указывают на уменьшенную изменчивость.

Мы используем инструментарий статистики и машинного обучения для создания распределения Вейбулла и иллюстрируем изменчивость ветра на нашей ветровой электростанции (a = 12,5, b = 2,2):

a = 12.5;
b = 2.2;
N = 1000;
pd = makedist('Weibull','a',a,'b',b)

pd = 
  WeibullDistribution

  Weibull distribution
    A = 12.5
    B =  2.2

r = wblrnd(a,b,[1 N])

r = 1×1000

    6.0811    4.3679   17.3751    4.1966    8.7677   18.3517   13.9761    9.9363    3.0039    2.7496   16.5233    2.5333    3.0151   10.7854    6.3169   16.9442   11.6922    4.1418    6.4460    2.9379    8.4449   21.6033    5.4887    3.6903    8.1241    6.9789    7.1974   12.1293    8.4485   16.1833    7.7371   21.9390   14.0043   20.8297   18.3668    5.9351    7.8970   13.3122    3.2335   21.7093   11.4461   12.2905    6.8609    6.3983   15.8128   10.7241   11.3478    8.5754    7.6896    7.0249

x = linspace(0,34,N);
y = pdf(pd,x);
plot(x,y,'LineWidth',2)
hold on 
histogram(r,15,'Normalization','pdf')
hold off
title('Weibull Distribution of Wind Speeds')
xlabel('Wind Speed (m/s)')

Figure contains an axes. The axes with title Weibull Distribution of Wind Speeds contains 2 objects of type line, histogram.

III. Расчет средней мощности

Средняя выходная мощность ветровой турбины может быть получена с использованием следующего интеграла:

$_{}_{}^{} Peaverage=∫0∞Pe (u) f (u$ ) дю (5)

Мощность равна нулю, когда скорость ветра меньше, чем скорость ветра $_{uc}$ , и больше, чем скорость ветра $_{uf}$ . Поэтому интеграл можно выразить следующим образом:

$_{Пэрство} =_{} {С1}_{_{(}}^{_{}} \intucurf (u)_{} du)_{_{+}}^{_{}} {С2}^{} (∫ucurubf (u)_{_{}}^{{du}_{)}} + Пер$ (∫uruff (u) du) (6)

В уравнении (7) есть два отдельных интеграла. Вложим уравнение (4) в эти интегралы и упростим их с помощью замен: $x {= \frac{}{(}}^{ua}$ ) b $и \frac{dx}{} = {\frac{(}{} ba}^{) (} ua$ ) b − 1du. Это упрощает наши исходные интегралы к следующему:

$∫f (u) \frac{}{^{}}$ du=∫1exdx (7)

$^{} ∫ubf (u) {du}^{} = \frac{}{{ab}^{}} ($ ∫xexdx) (8)

Решение этих интегралов и затем замена x ${\frac{}{на (ua})}^{}$ b дает:

syms a b x
int1 = int(exp(-x), x);
int1 = subs(int1, x, (u/a)^b)

int1 = 
 $- e^{- {(\frac{u}{a})}^{b}}$

int2 = int(x * exp(-x) * a^b, x);
int2 = subs(int2, x, (u/a)^b)

int2 = 
 $- a^{b} e^{- {(\frac{u}{a})}^{b}} ({(\frac{u}{a})}^{b} + 1)$

Подстановка результатов в уравнение (6) дает уравнение для средней выходной мощности ветровой турбины.

Peavg = subs(C_1 * int1, u, u_r) - subs(C_1 * int1, u, u_c) + subs(C_2 * int2, u, u_r) - subs(C_2 * int2, u, u_c) + subs(Per * int1, u, u_f) - subs(Per * int1, u, u_r)

Peavg = 
 $\begin{array}{l} Per σ_{2} - Per e^{- {(\frac{u_{f}}{a})}^{b}} + \frac{Per {u_{c}}^{k} e^{- {(\frac{u_{c}}{a})}^{b}}}{σ_{1}} - \frac{Per {u_{c}}^{k} σ_{2}}{σ_{1}} - \frac{Per a^{b} e^{- {(\frac{u_{c}}{a})}^{b}} ({(\frac{u_{c}}{a})}^{b} + 1)}{σ_{1}} + \frac{Per a^{b} σ_{2} ({(\frac{u_{r}}{a})}^{b} + 1)}{σ_{1}} \\ where \\ σ_{1} = {u_{c}}^{k} - {u_{r}}^{k} \\ σ_{2} = e^{- {(\frac{u_{r}}{a})}^{b}} \end{array}$

IV. Заключение

Мы использовали набор символьных математических инструментов для разработки параметрического уравнения, которое можно использовать для выполнения имитационных исследований для определения средней мощности, генерируемой для различных конфигураций ветровых турбин и объектов ветряной электростанции.

Документация