Изучение арбитража активов за один период

Открыть сценарий в реальном времени

В этом примере рассматриваются основные концепции арбитража в двухпериодическом портфеле активов. Портфель состоит из облигации, длинной акции и колл-опциона на акции.

Он использует следующие символьные математические функции Toolbox™:

equationsToMatrix для преобразования линейной системы уравнений в матрицу.
linsolve для решения системы.
Символические эквиваленты стандартных функций MATLAB ®, например, diag.

Этот пример символически выводит нейтральные для риска вероятности и цену вызова для сценария с одним периодом и двумя состояниями.

Определение параметров портфеля

Создание символьной переменной r представляет собой безрисковую ставку за период. Установите предположение, что r является положительным значением.

syms r positive

Определите параметры для начала одного периода, time = 0. Здесь S0 - цена акций, и C0 - цена опциона колла со страйком, K.

syms S0 C0 K positive

Теперь определите параметры для конца периода. time = 1. Отметьте два возможных состояния в конце периода как U (цена акций за этот период увеличивается) и D (цена акций за этот период снижается). Таким образом, SU и SD являются ценами на акции в штатах U и D, и CU - значение вызова в состоянии U. Обратите внимание, что $SD < = K$ < = SU.

syms SU SD CU positive

Цена облигации по time = 0 равно 1. Обратите внимание, что в этом примере игнорируются затраты на трение.

Собрать цены по time = 0 в вектор-столбец.

prices = [1 S0 C0]'

prices = 
 $(\begin{array}{c} 1 \\ S_{0} \\ C_{0} \end{array})$

Сбор выплат по портфелю на time = 1 в payoff матрица. Столбцы payoff соответствуют выплатам для состояний D и U. Строки соответствуют выплатам для облигаций, акций и коллов. Погашение облигации 1 + r. Погашение для вызова в состоянии D равно нулю, поскольку оно не выполняется (поскольку $SD <$ = K).

payoff = [(1 + r), (1 + r); SD, SU; 0, CU]

payoff = 
 $(\begin{array}{c} r + 1 & r + 1 \\ SD & SU \\ 0 & CU \end{array})$

CU стоит SU - K в состоянии U. Заменить это значение в payoff.

payoff = subs(payoff, CU, SU - K)

payoff = 
 $(\begin{array}{c} r + 1 & r + 1 \\ SD & SU \\ 0 & SU - K \end{array})$

Решение для нейтральных по риску вероятностей

Определить вероятности достижения состояний U и D.

syms pU pD real

При отсутствии арбитража, eqns == 0 всегда должно иметь значение true с положительным значением pU и pD.

eqns = payoff*[pD; pU] - prices

eqns = 
 $(\begin{array}{c} pD (r + 1) + pU (r + 1) - 1 \\ SD pD - S_{0} + SU pU \\ - C_{0} - pU (K - SU) \end{array})$

Преобразование уравнений для использования вероятностей, нейтральных к риску.

syms pDrn pUrn real;
eqns = subs(eqns, [pD; pU], [pDrn; pUrn]/(1 + r))

eqns = 
 $(\begin{array}{c} pDrn + pUrn - 1 \\ \frac{SD pDrn}{r + 1} - S_{0} + \frac{SU pUrn}{r + 1} \\ - C_{0} - \frac{pUrn (K - SU)}{r + 1} \end{array})$

Неизвестные переменные: pDrn, pUrn, и C0. Преобразуйте линейную систему в матричную форму, используя эти неизвестные переменные.

[A, b] = equationsToMatrix(eqns, [pDrn, pUrn, C0]')

A = 
 $(\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ \frac{SD}{r + 1} & \frac{SU}{r + 1} & 0 \\ 0 & - \frac{K - SU}{r + 1} & - 1 \end{array})$

b = 
 $(\begin{array}{c} 1 \\ S_{0} \\ 0 \end{array})$

Используя linsolve, найдите решение для нейтральных по риску вероятностей и цены вызова.

x = linsolve(A, b)

x = 
 $(\begin{array}{c} \frac{S_{0} - SU + S_{0} r}{SD - SU} \\ - \frac{S_{0} - SD + S_{0} r}{SD - SU} \\ \frac{(K - SU) (S_{0} - SD + S_{0} r)}{(SD - SU) (r + 1)} \end{array})$

Проверка решения

Проверить, что при нейтральных по риску вероятностях, x(1:2), ожидаемая норма прибыли для портфеля, E_return равняется безрисковой ставке, r.

E_return = diag(prices)\(payoff - [prices,prices])*x(1:2);
E_return = simplify(subs(E_return, C0, x(3)))

E_return = 
 $(\begin{array}{c} r \\ r \\ r \end{array})$

Проверка на отсутствие нарушений арбитража

В качестве примера проверки нарушений без арбитража используйте следующие значения: r = 5%, S0 = 100, и K = 100. Для SU < 105, условие отсутствия арбитража нарушено, поскольку pDrn = xSol(1) отрицательный (SU >= SD). Кроме того, для любой цены вызова, кроме xSol(3), есть арбитраж.

xSol = simplify(subs(x, [r,S0,K], [0.05,100,100]))

xSol = 
 $(\begin{array}{c} - \frac{SU - 105}{SD - SU} \\ \frac{SD - 105}{SD - SU} \\ \frac{20 (SD - 105) (SU - 100)}{21 (SD - SU)} \end{array})$

Печать цены вызова как поверхности

Постройте график цены вызова, C0 = xSol(3), для 50 <= SD <= 100 и 105 <= SU <= 150. Обратите внимание, что вызов стоит больше, когда «отклонение» базовой цены акций, например, выше, SD = 50, SU = 150.

fsurf(xSol(3), [50,100,105,150])
xlabel SD
ylabel SU
title 'Call Price'

Figure contains an axes. The axes with title Call Price contains an object of type functionsurface.

Ссылка

Advanced Derivatives, Pricing and Risk Management: Theory, Tools and Programming Applications Альбанезе, К., Камполиети, Г.

Документация