Введение

Представьте, что парашютист выпрыгнул из самолета. Предположим, что на парашютиста действуют только две силы: гравитационная сила и сила противодействующего сопротивления от парашюта. Сила сопротивления пропорциональна скорости в квадрате парашютиста.

Результирующая сила, действующая на десантника, может быть выражена как

$$\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{mass\cdot acceleration=drag}\mathrm{сила}\mathrm{-}\mathrm{гравитационная}$$сила,

$$\mathit{}\frac{}{\mathit{}}\mathit{m\partial \partial tv}\mathit{(}t\left){\mathit{}}_{\mathit{=}}{\mathit{}\mathit{}cdv}^{\mathrm{}}\right(\mathit{t}\text{)}\mathit{}$$2 − m g,

где

Определение и решение уравнения движения

Определите дифференциальное уравнение, описывающее уравнение движения.

syms g m c_d
syms v(t)
eq = m*diff(v(t),t) + m*g == c_d*v(t)^2

eq = 
$$m\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }v\left(t\right)+g\hspace{0.17em}m=c_d\hspace{0.17em}{v\left(t\right)}^2$$

Предположим, что парашют открывается сразу при $\mathit{t}\mathrm{=}$ 0, так что уравнениеeq действителен для всех значений $\mathit{}\mathrm{t\ge 0}$. Аналитическое решение дифференциального уравнения с помощью dsolve с начальным условием $\mathit{v}\mathrm{(}0)\mathrm{}$= 0. Решение представляет скорость парашютиста как функцию времени.

velocity = simplify(dsolve(eq, v(0) == 0))

velocity = 
$$-\frac{\sqrt{g}\hspace{0.17em}\sqrt{m}\hspace{0.17em}\tanh \left(\frac{\sqrt{c_d}\hspace{0.17em}\sqrt{g}\hspace{0.17em}t}{\sqrt{m}}\right)}{\sqrt{c_d}}$$

Найти единицу константы перетаскивания

Найдите единицу измерения SI константы перетаскивания $${}_{\mathrm{cd}}$$.

Единица силы СИ - Ньютон $(\mathit{N}$). По базовым единицам Ньютон равен $(\frac{\mathrm{}\mathit{}}{{\mathit{}}^{\mathrm{kg\cdot ms2}}}$). Так как они эквивалентны, они имеют единичный коэффициент преобразования 1.

u = symunit;
unitConversionFactor(u.N, u.kg*u.m/u.s^2)

ans = $$1$$

Сила сопротивления ${\mathit{}}_{\mathit{}}{\mathit{cdv}\mathit{(}t}^{\mathrm{)}}$ 2 должна иметь ту же единицу измерения по $Ньютону\mathit{}($N), что и $$\mathrm{сила\; тяжести}$$мг. Используя размерный анализ, решите для единицы $${}_{}$$измерения cd.

syms drag_units_SI
drag_units_SI = simplify(solve(drag_units_SI * (u.m / u.s)^2 == u.N))

drag_units_SI = 
$$1\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{kg}\mathrm{"kilogram\; -\; a\; physical\; unit\; of\; mass."}}{\mathrm{m}\mathrm{"meter\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}$$

Оценка скорости терминала

Опишите движение парашютиста, определив следующие значения.

Подставьте эти значения в уравнение скорости и упростите результат.

vel_SI = subs(velocity,[g,m,c_d],[9.81*u.m/u.s^2, 70*u.kg, 40*drag_units_SI])

vel_SI = 
$$-\frac{\tanh \left(\frac{t\hspace{0.17em}\sqrt{40\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{kg}\mathrm{"kilogram\; -\; a\; physical\; unit\; of\; mass."}}{\mathrm{m}\mathrm{"meter\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}}\hspace{0.17em}\sqrt{\frac{981}{100}\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{m}\mathrm{"meter\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}{{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}^2}}}{\sqrt{70\hspace{0.17em}\mathrm{kg}\mathrm{"kilogram\; -\; a\; physical\; unit\; of\; mass."}}}\right)\hspace{0.17em}\sqrt{70\hspace{0.17em}\mathrm{kg}\mathrm{"kilogram\; -\; a\; physical\; unit\; of\; mass."}}\hspace{0.17em}\sqrt{\frac{981}{100}\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{m}\mathrm{"meter\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}{{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}^2}}}{\sqrt{40\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{kg}\mathrm{"kilogram\; -\; a\; physical\; unit\; of\; mass."}}{\mathrm{m}\mathrm{"meter\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}}}$$

vel_SI = simplify(vel_SI)

vel_SI = 
$$-\frac{3\hspace{0.17em}\sqrt{763}\hspace{0.17em}\tanh \left(\frac{3\hspace{0.17em}\sqrt{763}\hspace{0.17em}t}{35}\hspace{0.17em}\frac{1}{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}\right)}{20}\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{m}\mathrm{"meter\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}$$

Вычислите численное приближение скорости до 3 значащих цифр.

digits(3)
vel_SI = vpa(vel_SI)

vel_SI = 
$$-4.14\hspace{0.17em}\tanh \left(2.37\hspace{0.17em}t\hspace{0.17em}\frac{1}{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}\right)\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{m}\mathrm{"meter\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}$$

Парашютист приближается к постоянной скорости, когда гравитационная сила уравновешивается силой сопротивления. Это называется конечной скоростью и происходит, когда сила сопротивления с парашюта отменяет гравитационную силу (дальнейшего ускорения нет). Найдите конечную скорость, приняв предел $\mathit{}t⟶\infty$.

vel_term_SI = limit(vel_SI, t, Inf)

vel_term_SI = 
$$-4.14\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{m}\mathrm{"meter\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}$$

Преобразование скорости в британские единицы

Наконец, преобразуйте функцию скорости из единиц СИ в британские единицы.

vel_Imperial = rewrite(vel_SI,u.ft)

vel_Imperial = 
$$-13.6\hspace{0.17em}\tanh \left(2.37\hspace{0.17em}t\hspace{0.17em}\frac{1}{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}\right)\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{ft}\mathrm{"foot\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}$$

Преобразуйте конечную скорость.

vel_term_Imperial = rewrite(vel_term_SI,u.ft)

vel_term_Imperial = 
$$-13.6\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{ft}\mathrm{"foot\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}$$

График скорости во времени

Чтобы построить график скорости как функции времени, выражайте время t в секундах и заменить t около T s, где T является безразмерной символьной переменной.

syms T
vel_SI = subs(vel_SI, t, T*u.s)

vel_SI = 
$$-4.14\hspace{0.17em}\tanh \left(2.37\hspace{0.17em}T\right)\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{m}\mathrm{"meter\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}$$

vel_Imperial = rewrite(vel_SI, u.ft)

vel_Imperial = 
$$-13.6\hspace{0.17em}\tanh \left(2.37\hspace{0.17em}T\right)\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{ft}\mathrm{"foot\; -\; a\; physical\; unit\; of\; length."}}{\mathrm{s}\mathrm{"second\; -\; a\; physical\; unit\; of\; time."}}$$

Отделите выражение от единиц измерения с помощью separateUnits. Постройте график выражения с помощью fplot. Преобразование единиц в строки для использования в качестве меток печати с помощью symunit2str.

[data_SI, units_SI] = separateUnits(vel_SI);
[data_Imperial, units_Imperial] = separateUnits(vel_Imperial);

Скорость парашютиста приближается к установившемуся состоянию, когда $\mathit{t}\mathrm{>}$1. Показать, как скорость приближается к конечной скорости путем построения графика скорости в $\mathrm{диапазоне}0\mathit{}\le T\mathrm{}$≤2.

subplot(1,2,1)
fplot(data_SI,[0 2])
title('Velocity in SI Units')
xlabel('Time in s')
ylabel(['Velocity in ' symunit2str(units_SI)])
subplot(1,2,2)
fplot(data_Imperial,[0 2])
title('Velocity in Imperial Units')
xlabel('Time in s')
ylabel(['Velocity in ' symunit2str(units_Imperial)])