Физика гасящего гармонического осциллятора

Этот пример исследует физику гасящего гармонического генератора

решение уравнений движения в случае отсутствия движущих сил,
расследование случаев недостаточного, избыточного и критического демпфирования

Содержание

Вывести уравнение движения
Решить уравнение движения (F = 0)
Футляр с пониженной демпфировкой ( $start<$ 1)
Сверхзаглушенный Случай ( $ζ > 1$ )
Критически заглушенный случай ( $ζ = 1$ )
Заключение

1. Вывести уравнение движения

Рассмотрим генератор принудительной гармоники с демпфированием, показанным ниже. Моделируйте силу сопротивления пропорционально скорости, с которой движется генератор.

Определите уравнение движения, где

$m$ - масса
$c$ - коэффициент демпфирования
$k$ - постоянная пружины
$F$ - движущая сила

syms x(t) m c k F(t)
eq = m*diff(x,t,t) + c*diff(x,t) + k*x == F

eq(t) = 
 $m \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} x (t) + c \frac{\partial}{\partial t} x (t) + k x (t) = F (t)$

Перепишите уравнение, используя $c = m$ γ $и k =_{}^{m}$ λ 02.

syms gamma omega_0
eq = subs(eq, [c k], [m*gamma, m*omega_0^2])

eq(t) = 
 $m \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} x (t) + γ m \frac{\partial}{\partial t} x (t) + m x (t) {ω_{0}}^{2} = F (t)$

Теперь мы имеем уравнение в удобной форме для анализа.

eq = collect(eq, m)/m

eq(t) = 
 $\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} x (t) + γ \frac{\partial}{\partial t} x (t) + x (t) {ω_{0}}^{2} = \frac{F (t)}{m}$

2. Решите уравнение движения, где F = 0

Решить уравнение движения с помощью dsolve в случае отсутствия внешних сил, где $F =$ 0. Используйте исходные условия перемещения блока и нулевой скорости.

vel = diff(x,t);
cond = [x(0) == 1, vel(0) == 0];
eq = subs(eq,F,0);
sol = dsolve(eq, cond)

sol = 
 $\begin{array}{l} \frac{e^{- t (\frac{γ}{2} - \frac{σ_{1}}{2})} (γ + σ_{1})}{2 σ_{1}} - \frac{e^{- t (\frac{γ}{2} + \frac{σ_{1}}{2})} (γ - σ_{1})}{2 σ_{1}} \\ where \\ σ_{1} = \sqrt{(γ - 2 ω_{0}) (γ + 2 ω_{0})} \end{array}$

Узнайте, как упростить решение, развернув его.

sol = expand(sol)

sol = 
 $\begin{array}{l} \frac{σ_{1} σ_{2}}{2} + \frac{σ_{1} e^{\frac{t \sqrt{γ^{2} - 4 {ω_{0}}^{2}}}{2}}}{2} - \frac{γ σ_{1} σ_{2}}{2 \sqrt{γ^{2} - 4 {ω_{0}}^{2}}} + \frac{γ σ_{1} e^{\frac{t \sqrt{γ^{2} - 4 {ω_{0}}^{2}}}{2}}}{2 \sqrt{γ^{2} - 4 {ω_{0}}^{2}}} \\ where \\ σ_{1} = e^{- \frac{γ t}{2}} \\ σ_{2} = e^{- \frac{t \sqrt{γ^{2} - 4 {ω_{0}}^{2}}}{2}} \end{array}$

Обратите внимание, что каждый член имеет коэффициент $_{}$ $^{}$ collect собрать эти условия

sol = collect(sol, exp(-gamma*t/2))

sol = 
 $\begin{array}{l} (\frac{e^{- σ_{1}}}{2} + \frac{e^{σ_{1}}}{2} - \frac{γ e^{- σ_{1}}}{2 \sqrt{γ^{2} - 4 {ω_{0}}^{2}}} + \frac{γ e^{σ_{1}}}{2 \sqrt{γ^{2} - 4 {ω_{0}}^{2}}}) e^{- \frac{γ t}{2}} \\ where \\ σ_{1} = \frac{t \sqrt{γ^{2} - 4 {ω_{0}}^{2}}}{2} \end{array}$

В $\sqrt{^{}_{}^{}}$ различных частях решения появляется термин γ 2-4λ 02. Перепишите его в более простой форме, введя коэффициент демпфирования $\frac{}{_{ζ≡γ2ω0}}$ .

Подстановка startв термин выше даёт:

$\sqrt{^{}_{}^{}}_{} \sqrt{{\frac{}{_{}}}^{}}_{} \sqrt{^{}} γ2-4ω02=2ω0(γ2ω0)2-1=2ω0ζ2-1,$

syms zeta;
sol = subs(sol, ...
    sqrt(gamma^2 - 4*omega_0^2), ...
    2*omega_0*sqrt(zeta^2-1))

sol = 
 $\begin{array}{l} e^{- \frac{γ t}{2}} (\frac{σ_{2}}{2} + \frac{σ_{1}}{2} + \frac{γ σ_{2}}{4 ω_{0} \sqrt{ζ^{2} - 1}} - \frac{γ σ_{1}}{4 ω_{0} \sqrt{ζ^{2} - 1}}) \\ where \\ σ_{1} = e^{- ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}} \\ σ_{2} = e^{ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}} \end{array}$

Дополнительно упростите решение, подменив $γ$ в терминах $_{λ 0}$ и $start$ ,

sol = subs(sol, gamma, 2*zeta*omega_0)

sol = 
 $\begin{array}{l} e^{- ω_{0} t ζ} (\frac{σ_{2}}{2} + \frac{σ_{1}}{2} + \frac{ζ σ_{2}}{2 \sqrt{ζ^{2} - 1}} - \frac{ζ σ_{1}}{2 \sqrt{ζ^{2} - 1}}) \\ where \\ σ_{1} = e^{- ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}} \\ σ_{2} = e^{ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}} \end{array}$

Мы получили общее решение для движения демпфированного гармонического генератора без движущих сил. Далее мы рассмотрим три особых случая коэффициента демпфирования, где движение принимает более простые формы. Эти случаи называются

с пониженной демпфированностью $(start<$ 1),
сверхзаглушенный $(ζ > 1)$ , и
критически заглушенный $(ζ = 1$ ).

3. Футляр с пониженной демпфировкой ( $start<$

Если $start<$ 1, $\sqrt{{то}^{}} start2-1 \sqrt{=^{}}$ i1-start2 является чисто мнимым

solUnder = subs(sol, sqrt(zeta^2-1), 1i*sqrt(1-zeta^2))

solUnder = 
 $\begin{array}{l} e^{- ω_{0} t ζ} (\frac{σ_{1}}{2} + \frac{σ_{2}}{2} + \frac{ζ σ_{1} i}{2 \sqrt{1 - ζ^{2}}} - \frac{ζ σ_{2} i}{2 \sqrt{1 - ζ^{2}}}) \\ where \\ σ_{1} = e^{- ω_{0} t \sqrt{1 - ζ^{2}} i} \\ σ_{2} = e^{ω_{0} t \sqrt{1 - ζ^{2}} i} \end{array}$

Обратите внимание, что в $^{_{} \sqrt{^{}}}^{_{} \sqrt{^{}}}$ приведенном выше уравнении термины ei ü 0 tstart2-1 ± e-i, и вспомните идентичность $^{ei} x = cos (x) + i$ sin (x).

Перепишите решение с точки зрения $\cos$ .

solUnder = coeffs(solUnder, zeta);
solUnder = solUnder(1);
c = exp(-omega_0 * zeta * t);
solUnder = c * rewrite(solUnder / c, 'cos')

solUnder =  $e^{- ω_{0} t ζ} \cos (ω_{0} t \sqrt{1 - ζ^{2}})$

solUnder(t, omega_0, zeta) = solUnder

solUnder(t, omega_0, zeta) =  $e^{- ω_{0} t ζ} \cos (ω_{0} t \sqrt{1 - ζ^{2}})$

Система колеблется с собственной частотой, составляющей, по меньшей мере, $_{} \sqrt{^{1-2}}$ , и распадается с экспоненциальной скоростью, равной $_{} 1$ /

Постройте график решения с помощью fplot в виде функции, относящейся к $_{} start0t$ и $start$ .

z = [0 1/4 1/2 3/4];
w = 1;
T = 4*pi;
lineStyle = {'-','--',':k','-.'};

fplot(@(t)solUnder(t, w, z(1)), [0 T], lineStyle{1});

hold on;
for k = 2:numel(z)
    fplot(@(t)solUnder(t, w, z(k)), [0 T], lineStyle{k});
end
hold off;
grid on;
xticks(T*linspace(0,1,5));
xticklabels({'0','\pi','2\pi','3\pi','4\pi'});
xlabel('t / \omega_0');
ylabel('amplitude');
lgd = legend('0','1/4','1/2','3/4');
title(lgd,'\zeta');
title('Underdamped');

Figure contains an axes. The axes with title Underdamped contains 4 objects of type functionline. These objects represent 0, 1/4, 1/2, 3/4.

4. Сверхзаглушенный Случай ( $ζ > 1$ )

Если $start>$ 1, $\sqrt{{то}^{}}$ start2-1 является чисто реальным и решение может быть переписано как

solOver = sol

solOver = 
 $\begin{array}{l} e^{- ω_{0} t ζ} (\frac{σ_{2}}{2} + \frac{σ_{1}}{2} + \frac{ζ σ_{2}}{2 \sqrt{ζ^{2} - 1}} - \frac{ζ σ_{1}}{2 \sqrt{ζ^{2} - 1}}) \\ where \\ σ_{1} = e^{- ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}} \\ σ_{2} = e^{ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}} \end{array}$

solOver = coeffs(solOver, zeta);
solOver = solOver(1)

solOver = 
 $e^{- ω_{0} t ζ} (\frac{e^{ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}}}{2} + \frac{e^{- ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}}}{2})$

Обратите внимание на термины $\frac{(^{_{} \sqrt{^{} eü 0tstart2-1}} +^{_{} \sqrt{^{}}}}{e-start0tstart2-1}$ ) 2 и вспомните $идентичность cosh \frac{(^{x})^{=}}{}$ ex + e-x2.

Переписать выражение в терминах $\cosh$ .

c = exp(-omega_0*t*zeta);
solOver = c*rewrite(solOver / c, 'cosh')

solOver =  $\cosh (ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}) e^{- ω_{0} t ζ}$

solOver(t, omega_0, zeta) = solOver

solOver(t, omega_0, zeta) =  $\cosh (ω_{0} t \sqrt{ζ^{2} - 1}) e^{- ω_{0} t ζ}$

Постройте график решения, чтобы увидеть, что оно распадается без колебаний.

z = 1 + [1/4 1/2 3/4 1];
w = 1;
T = 4*pi;
lineStyle = {'-','--',':k','-.'};

fplot(@(t)solOver(t, w, z(1)), [0 T], lineStyle{1});

hold on;
for k = 2:numel(z)
    fplot(@(t)solOver(t, w, z(k)), [0 T], lineStyle{k});
end
hold off;
grid on;
xticks(T*linspace(0,1,5));
xticklabels({'0','\pi','2\pi','3\pi','4\pi'});
xlabel('\omega_0 t');
ylabel('amplitude');
lgd = legend('1+1/4','1+1/2','1+3/4','2');
title(lgd,'\zeta');
title('Overdamped');

Figure contains an axes. The axes with title Overdamped contains 4 objects of type functionline. These objects represent 1+1/4, 1+1/2, 1+3/4, 2.

5. Критически заглушенный случай ( $ζ = 1$ )

Если $start=$ 1, то решение упрощается до

solCritical(t, omega_0) = limit(sol, zeta, 1)

solCritical(t, omega_0) =  $e^{- ω_{0} t} (ω_{0} t + 1)$

Постройте график решения критически затухшего дела.

w = 1;
T = 4*pi;

fplot(solCritical(t, w), [0 T])
xlabel('\omega_0 t');
ylabel('x');
title('Critically damped, \zeta = 1');
grid on;
xticks(T*linspace(0,1,5));
xticklabels({'0','\pi','2\pi','3\pi','4\pi'});

$Figure contains an axes. The axes with title Critically damped, \zeta = 1 contains an object of type functionline.$

6. Заключение

Мы изучили различные состояния демпфирования для гармонического осциллятора, решив ODE, которые представляют его движение, используя коэффициент демпфирования (« $damping$ »). Постройте график всех трех случаев, чтобы сравнить и сравнить их.

zOver  = pi;
zUnder = 1/zOver;
w = 1;
T = 2*pi;
lineStyle = {'-','--',':k'};

fplot(@(t)solOver(t, w, zOver), [0 T], lineStyle{1},'LineWidth',2);
hold on;
fplot(solCritical(t, w), [0 T], lineStyle{2},'LineWidth',2)
fplot(@(t)solUnder(t, w, zUnder), [0 T], lineStyle{3},'LineWidth',2);
hold off;

textColor = lines(3);
text(3*pi/2, 0.3 , 'over-damped'      ,'Color',textColor(1,:));
text(pi*3/4, 0.05, 'critically-damped','Color',textColor(2,:));
text(pi/8  , -0.1, 'under-damped');

grid on;
xlabel('\omega_0 t');
ylabel('amplitude');
xticks(T*linspace(0,1,5));
xticklabels({'0','\pi/2','\pi','3\pi/2','2\pi'});
yticks((1/exp(1))*[-1 0 1 2 exp(1)]);
yticklabels({'-1/e','0','1/e','2/e','1'});
lgd = legend('\pi','1','1/\pi');
title(lgd,'\zeta');
title('Damped Harmonic Oscillator');

$Figure contains an axes. The axes with title Damped Harmonic Oscillator contains 6 objects of type functionline, text. These objects represent \pi, 1, 1/\pi.$

Документация

Физика гасящего гармонического осциллятора

Содержание

1. Вывести уравнение движения

2. Решите уравнение движения, где F = 0

3. Футляр с пониженной демпфировкой ( $start<$

4. Сверхзаглушенный Случай ( $ζ > 1$ )

5. Критически заглушенный случай ( $ζ = 1$ )

6. Заключение

Документация по инструментам символьной математики

Поддержка

Документация

Физика гасящего гармонического осциллятора

Содержание

1. Вывести уравнение движения

2. Решите уравнение движения, где F = 0

3. Футляр с пониженной демпфировкой (start<

4. Сверхзаглушенный Случай (ζ> 1)

5. Критически заглушенный случай (ζ = 1)

6. Заключение

Документация по инструментам символьной математики

Поддержка

3. Футляр с пониженной демпфировкой ( $start<$

4. Сверхзаглушенный Случай ( $ζ > 1$ )

5. Критически заглушенный случай ( $ζ = 1$ )