Определение и печать параметрической поверхности

Определение параметрической поверхности x(u,v), y(u,v), z(u,v) следующим образом.

syms u v
x = cos(u)*sin(v);
y = sin(u)*sin(v);
z = cos(v)*sin(v);

Постройте график поверхности с помощью fsurf.

fsurf(x,y,z)
axis equal

Создание матриц вращения

Создание матриц 3 на 3 Rx, Ry, и Rz представление поворота плоскости на угол t о x-, y-, и z-axis, соответственно.

syms t

Rx = [1 0 0; 0 cos(t) -sin(t); 0 sin(t) cos(t)]

Rx = 
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \left(t\right)& -\sin \left(t\right)\\ 0& \sin \left(t\right)& \cos \left(t\right)\end{array}\right)$$

Ry = [cos(t) 0 sin(t); 0 1 0; -sin(t) 0 cos(t)]

Ry = 
$$\left(\begin{array}{ccc}\cos \left(t\right)& 0& \sin \left(t\right)\\ 0& 1& 0\\ -\sin \left(t\right)& 0& \cos \left(t\right)\end{array}\right)$$

Rz = [cos(t) -sin(t) 0; sin(t) cos(t) 0; 0 0 1]

Rz = 
$$\left(\begin{array}{ccc}\cos \left(t\right)& -\sin \left(t\right)& 0\\ \sin \left(t\right)& \cos \left(t\right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

Поворот вокруг каждой оси в трех измерениях

Сначала поверните поверхность вокруг x- ось на 45 градусов против часовой стрелки.

xyzRx = Rx*[x;y;z];
Rx45 = subs(xyzRx, t, pi/4);

fsurf(Rx45(1), Rx45(2), Rx45(3))
title('Rotating by \pi/4 about x, counterclockwise')
axis equal

Повернуть вокруг z- ось на 90 градусов по часовой стрелке.

xyzRz = Rz*Rx45;
Rx45Rz90 = subs(xyzRz, t, -pi/2);

fsurf(Rx45Rz90(1), Rx45Rz90(2), Rx45Rz90(3))
title('Rotating by \pi/2 about z, clockwise')
axis equal

Повернуть вокруг y- ось на 45 градусов по часовой стрелке.

xyzRy = Ry*Rx45Rz90;
Rx45Rz90Ry45 = subs(xyzRy, t, -pi/4);

fsurf(Rx45Rz90Ry45(1), Rx45Rz90Ry45(2), Rx45Rz90Ry45(3))
title('Rotating by \pi/4 about y, clockwise')
axis equal

Масштабирование и поворот

Масштабировать поверхность на коэффициент 3 вдоль z-axis. Можно умножить выражение для z на 3, z = 3*z. Более общий подход состоит в том, чтобы создать матрицу масштабирования, а затем умножить матрицу масштабирования на вектор координат.

S = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 3];
xyzScaled = S*[x; y; z]

xyzScaled = 
$$\left(\begin{array}{c}\cos \left(u\right)\hspace{0.17em}\sin \left(v\right)\\ \sin \left(u\right)\hspace{0.17em}\sin \left(v\right)\\ 3\hspace{0.17em}\cos \left(v\right)\hspace{0.17em}\sin \left(v\right)\end{array}\right)$$

fsurf(xyzScaled(1), xyzScaled(2), xyzScaled(3))
title('Scaling by 3 along z')
axis equal

Поверните масштабированную поверхность вокруг x-, y-, и z-ось на 45 градусов по часовой стрелке, в порядке z, то y, то x. Матрица поворота для этого преобразования выглядит следующим образом.

R = Rx*Ry*Rz

R = 
$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{ccc}{\cos \left(t\right)}^2& -\cos \left(t\right)\hspace{0.17em}\sin \left(t\right)& \sin \left(t\right)\\ {\sigma }_1& {\cos \left(t\right)}^2-{\sin \left(t\right)}^3& -\cos \left(t\right)\hspace{0.17em}\sin \left(t\right)\\ {\sin \left(t\right)}^2-{\cos \left(t\right)}^2\hspace{0.17em}\sin \left(t\right)& {\sigma }_1& {\cos \left(t\right)}^2\end{array}\right)\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=\cos \left(t\right)\hspace{0.17em}{\sin \left(t\right)}^2+\cos \left(t\right)\hspace{0.17em}\sin \left(t\right)\end{array}$$

Используйте матрицу поворота для поиска новых координат.

xyzScaledRotated = R*xyzScaled;
xyzSR45 = subs(xyzScaledRotated, t, -pi/4);

Постройте график поверхности.

fsurf(xyzSR45(1), xyzSR45(2), xyzSR45(3))
title('Rotating by \pi/4 about x, y, and z, clockwise')
axis equal

Проверка свойств матрицы вращения R

Матрицы вращения являются ортогональными матрицами. Таким образом, транспонирование R также является его обратной и детерминантой R равно 1.

simplify(R.'*R)

ans = 
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

simplify(det(R))

ans = $$1$$