В этом разделе показано, как решить систему уравнений с помощью символьных математических Toolbox™. Эта панель инструментов содержит как числовые, так и символьные решатели уравнений. Сравнение числовых и символьных решателей см. в разделе Выбор числового или символьного решателя.
Работа с решениями, параметрами и условиями, возвращенными решением
Упрощение сложных результатов и повышение производительности
Предположим, что у вас есть система
y2 = α,
и вы хотите решить для x и y. Сначала создайте необходимые символические объекты.
syms x y a
Существует несколько способов решения проблемы выхода solve. Одним из способов является использование вызова с двумя выходами.
[solx,soly] = solve(x^2*y^2 == 0, x-y/2 == a)
Вызов возвращает следующее.
solx =
0
a
soly =
-2*a
0Измените первое уравнение на x2y2 = 1. Новая система имеет больше решений.
[solx,soly] = solve(x^2*y^2 == 1, x-y/2 == a)
Производятся четыре различных решения.
solx = a/2 - (a^2 - 2)^(1/2)/2 a/2 - (a^2 + 2)^(1/2)/2 a/2 + (a^2 - 2)^(1/2)/2 a/2 + (a^2 + 2)^(1/2)/2 soly = - a - (a^2 - 2)^(1/2) - a - (a^2 + 2)^(1/2) (a^2 - 2)^(1/2) - a (a^2 + 2)^(1/2) - a
Поскольку зависимые переменные не указаны, solve использование symvar для определения переменных.
Этот способ назначения выходных данных из solve является достаточно успешным для «малых» систем. Например, если у вас есть система уравнений 10 на 10, ввод следующего является как неудобным, так и трудоемким.
[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10] = solve(...)
Чтобы обойти эту трудность, solve может возвращать структуру, поля которой являются решениями. Например, решить систему уравнений u^2 - v^2 = a^2, u + v = 1, a^2 - 2*a = 3.
syms u v a S = solve(u^2 - v^2 == a^2, u + v == 1, a^2 - 2*a == 3)
Решатель возвращает результаты, содержащиеся в этой структуре.
S =
struct with fields:
a: [2×1 sym]
u: [2×1 sym]
v: [2×1 sym]Решения для a находиться в "a-field " S.
S.a
ans = -1 3
Аналогичные комментарии относятся к решениям для u и v. Структура S теперь можно манипулировать полем и индексом для доступа к определенной части решения. Например, для проверки второго решения можно использовать следующую инструкцию для извлечения второго компонента каждого поля.
s2 = [S.a(2), S.u(2), S.v(2)]
s2 = [ 3, 5, -4]
Следующая инструкция создает матрицу решения M строки которых содержат различные решения системы.
M = [S.a, S.u, S.v]
M = [ -1, 1, 0] [ 3, 5, -4]
Ясно solx и soly для дальнейшего использования.
clear solx soly
Линейные системы уравнений также могут быть решены с помощью матричного деления. Например, решить эту систему.
clear u v x y syms u v x y eqns = [x + 2*y == u, 4*x + 5*y == v]; S = solve(eqns); sol = [S.x; S.y] [A,b] = equationsToMatrix(eqns,x,y); z = A\b
sol =
(2*v)/3 - (5*u)/3
(4*u)/3 - v/3
z =
(2*v)/3 - (5*u)/3
(4*u)/3 - v/3Таким образом,sol и z создать одно и то же решение, хотя результаты присваиваются различным переменным.
solve не возвращает автоматически все решения уравнения. Чтобы вернуть все решения вместе с параметрами в решении и условиями в решении, установите ReturnConditions опция для true.
Рассмотрим следующую систему уравнений:
cos (y) = 110
Визуализация системы уравнений с помощью fimplicit. Установка значений осей X и Y в терминах pi, получить ручки осей с помощью axes в a. Создание символьного массива S значений -2*pi кому 2*pi с интервалами pi/2. Установка засечек в S, используйте XTick и YTick свойства a. Чтобы задать метки для осей X и Y, преобразуйте S в векторы символов. Использовать arrayfun подавать char каждому элементу S возвратиться T. Установите XTickLabel и YTickLabel свойства a кому T.
syms x y eqn1 = sin(x)+cos(y) == 4/5; eqn2 = sin(x)*cos(y) == 1/10; a = axes; fimplicit(eqn1,[-2*pi 2*pi],'b'); hold on grid on fimplicit(eqn2,[-2*pi 2*pi],'m'); L = sym(-2*pi:pi/2:2*pi); a.XTick = double(L); a.YTick = double(L); M = arrayfun(@char, L, 'UniformOutput', false); a.XTickLabel = M; a.YTickLabel = M; title('Plot of System of Equations') legend('sin(x)+cos(y) == 4/5','sin(x)*cos(y) == 1/10',... 'Location','best','AutoUpdate','off')
Решения лежат на пересечении двух участков. Это показывает, что система имеет повторяющиеся периодические решения. Чтобы решить эту систему уравнений для полного набора решений, используйте solve и установите ReturnConditions опция для true.
S = solve(eqn1, eqn2, 'ReturnConditions', true)
S =
struct with fields:
x: [2×1 sym]
y: [2×1 sym]
parameters: [1×2 sym]
conditions: [2×1 sym]solve возвращает структуру S с полями S.x для решения x, S.y для решения y, S.parameters для параметров в решении, и S.conditions для условий в растворе. Элементы одного и того же индекса в S.x, S.y, и S.conditions сформировать раствор. Таким образом, S.x(1), S.y(1), и S.conditions(1) сформировать одно решение системы уравнений. Параметры в S.parameters может присутствовать во всех решениях.
Проиндексировать в S для возврата решений, параметров и условий.
S.x S.y S.parameters S.conditions
ans = z1 z1 ans = z z ans = [ z, z1] ans = (in((z - acos(6^(1/2)/10 + 2/5))/(2*pi), 'integer') |... in((z + acos(6^(1/2)/10 + 2/5))/(2*pi), 'integer')) &... (in(-(pi - z1 + asin(6^(1/2)/10 - 2/5))/(2*pi), 'integer') |... in((z1 + asin(6^(1/2)/10 - 2/5))/(2*pi), 'integer')) (in((z1 - asin(6^(1/2)/10 + 2/5))/(2*pi), 'integer') |... in((z1 - pi + asin(6^(1/2)/10 + 2/5))/(2*pi), 'integer')) &... (in((z - acos(2/5 - 6^(1/2)/10))/(2*pi), 'integer') |... in((z + acos(2/5 - 6^(1/2)/10))/(2*pi), 'integer'))
Для решения системы уравнений в условиях укажите условия на входе в solve.
Решить систему уравнений, рассмотренных выше для x и y в интервале -2*pi кому 2*pi. Наложение решений на график с помощью scatter.
Srange = solve(eqn1, eqn2, -2*pi<x, x<2*pi, -2*pi<y, y<2*pi, 'ReturnConditions', true); scatter(Srange.x, Srange.y,'k')
Можно использовать решения, параметры и условия, возвращаемые solve поиск решений в пределах интервала или при дополнительных условиях. Этот раздел имеет ту же цель, что и предыдущий раздел, решить систему уравнений в пределах диапазона поиска, но с другим подходом. Вместо непосредственного размещения условий он показывает, как работать с параметрами и условиями, возвращенными solve.
Для полного решения S системы уравнений, найти значения x и y в интервале -2*pi кому 2*pi путем решения решений S.x и S.y для параметров S.parameters в пределах этого интервала при условии S.conditions.
Перед решением для x и y в интервале, предположим условия в S.conditions использование assume чтобы возвращенные решения удовлетворяли условию. Предположим условия для первого решения.
assume(S.conditions(1))
Найти параметры в S.x и S.y.
paramx = intersect(symvar(S.x), S.parameters) paramy = intersect(symvar(S.y), S.parameters)
paramx = z1 paramy = z
Решить первое решение x для параметра paramx.
solparamx(1,:) = solve(S.x(1) > -2*pi, S.x(1) < 2*pi, paramx)
solparamx = [ pi + asin(6^(1/2)/10 - 2/5), asin(6^(1/2)/10 - 2/5) - pi, -asin(6^(1/2)/10 - 2/5), - 2*pi - asin(6^(1/2)/10 - 2/5)]
Аналогично, решить первое решение y для paramy.
solparamy(1,:) = solve(S.y(1) > -2*pi, S.y(1) < 2*pi, paramy)
solparamy = [ acos(6^(1/2)/10 + 2/5), acos(6^(1/2)/10 + 2/5) - 2*pi, -acos(6^(1/2)/10 + 2/5), 2*pi - acos(6^(1/2)/10 + 2/5)]
Очистить допущения, установленные S.conditions(1) использование assume. Звонить asumptions для проверки очистки допущений.
assume(S.parameters,'clear') assumptions
ans = Empty sym: 1-by-0
Предположим условия для второго решения.
assume(S.conditions(2))
Решить второе решение для x и y для параметров paramx и paramy.
solparamx(2,:) = solve(S.x(2) > -2*pi, S.x(2) < 2*pi, paramx) solparamy(2,:) = solve(S.y(2) > -2*pi, S.y(2) < 2*pi, paramy)
solparamx = [ pi + asin(6^(1/2)/10 - 2/5), asin(6^(1/2)/10 - 2/5) - pi, -asin(6^(1/2)/10 - 2/5), - 2*pi - asin(6^(1/2)/10 - 2/5)] [ asin(6^(1/2)/10 + 2/5), pi - asin(6^(1/2)/10 + 2/5), asin(6^(1/2)/10 + 2/5) - 2*pi, - pi - asin(6^(1/2)/10 + 2/5)] solparamy = [ acos(6^(1/2)/10 + 2/5), acos(6^(1/2)/10 + 2/5) - 2*pi, -acos(6^(1/2)/10 + 2/5), 2*pi - acos(6^(1/2)/10 + 2/5)] [ acos(2/5 - 6^(1/2)/10), acos(2/5 - 6^(1/2)/10) - 2*pi, -acos(2/5 - 6^(1/2)/10), 2*pi - acos(2/5 - 6^(1/2)/10)]
Первые строки paramx и paramy образуют первое решение системы уравнений, а вторые строки образуют второе решение.
Поиск значений x и y для этих значений paramx и paramy, использовать subs заменить paramx и paramy в S.x и S.y.
solx(1,:) = subs(S.x(1), paramx, solparamx(1,:)); solx(2,:) = subs(S.x(2), paramx, solparamx(2,:)) soly(1,:) = subs(S.y(1), paramy, solparamy(1,:)); soly(2,:) = subs(S.y(2), paramy, solparamy(2,:))
solx = [ pi + asin(6^(1/2)/10 - 2/5), asin(6^(1/2)/10 - 2/5) - pi, -asin(6^(1/2)/10 - 2/5), - 2*pi - asin(6^(1/2)/10 - 2/5)] [ asin(6^(1/2)/10 + 2/5), pi - asin(6^(1/2)/10 + 2/5), asin(6^(1/2)/10 + 2/5) - 2*pi, - pi - asin(6^(1/2)/10 + 2/5)] soly = [ acos(6^(1/2)/10 + 2/5), acos(6^(1/2)/10 + 2/5) - 2*pi, -acos(6^(1/2)/10 + 2/5), 2*pi - acos(6^(1/2)/10 + 2/5)] [ acos(2/5 - 6^(1/2)/10), acos(2/5 - 6^(1/2)/10) - 2*pi, -acos(2/5 - 6^(1/2)/10), 2*pi - acos(2/5 - 6^(1/2)/10)]
Обратите внимание, что solx и soly являются двумя наборами решений для x и y. Полные наборы решений системы уравнений - это два набора точек, образованных всеми возможными комбинациями значений в solx и soly.
Постройте график этих двух наборов точек с помощью scatter. Наложите их на график уравнений. Как и ожидалось, решения появляются на пересечении графиков двух уравнений.
for i = 1:length(solx(1,:)) for j = 1:length(soly(1,:)) scatter(solx(1,i), soly(1,j), 'k') scatter(solx(2,i), soly(2,j), 'k') end end
Символьные вычисления обеспечивают точную точность, а числовые - аппроксимации. Несмотря на эту потерю точности, может потребоваться преобразовать символьные результаты в числовые аппроксимации для использования в числовых вычислениях. Для высокоточного преобразования используйте арифметику переменной точности, предоставляемую vpa функция. Для стандартной точности и лучшей производительности преобразуйте в двойную точность с помощью double.
Использовать vpa преобразование символьных решений solx и soly в числовую форму.
vpa(solx) vpa(soly)
ans = [ 2.9859135500977407388300518406219,... -3.2972717570818457380952349259371,... 0.15567910349205249963259154265761,... -6.1275062036875339772926952239014] ... [ 0.70095651347102524787213653614929,... 2.4406361401187679905905068471302,... -5.5822287937085612290531502304097,... -3.8425491670608184863347799194288] ans = [ 0.86983981332387137135918515549046,... -5.4133454938557151055661016110685,... -0.86983981332387137135918515549046,... 5.4133454938557151055661016110685] ... [ 1.4151172233028441195987301489821,... -4.8680680838767423573265566175769,... -1.4151172233028441195987301489821,... 4.8680680838767423573265566175769]
Если результаты выглядят сложными, solve застрял, или если вы хотите улучшить производительность, см. раздел Устранение неполадок в решениях уравнений из функции решения.