Кривая Коха

Берут линию модуля длины, снимают среднюю третью и заменяют двумя линиями той же длины, что и удаленную. Эти две линии и удаленный сегмент должны составлять раверальный треугольник. Это первая итерация. Та же процедура повторяется со всеми линиями для следующих итераций. Каждый меньший сегмент является точной репликой всей кривой. Каждая итерация добавляет длину к общей кривой, что приводит к общей длине, которая (4/3) ^ n умножает исходную длину, где n - количество итераций.

Фрактальный дипол Koch Vs дипольная антенна

Создайте диполь с длиной 60 мм и постройте график импеданса в частотной области значений 0,5 GHz-5 ГГц.

d = dipole('Length',60e-3,'Width',1e-3);
figure;impedance(d,(0.5:0.05:5)*1e9);

Резонансная частота дипольной антенны составляет 2,35 ГГц.

Создайте фрактальный диполь koch. По умолчанию длина составляет 60 мм, а количество итераций - две.

k = fractalKoch;
figure;show(k);

Вычислите импеданс в частотной области значений 0,5 GHz-5 ГГц.

zk1 = impedance(k,(0.5:0.05:5)*1e9);

Увеличьте количество итераций до четырех и вычислите импеданс. Постройте график импеданса для второй и четвертой итераций.

k.NumIterations = 4;
k.Width = 0.5*k.Width;
zk2 = impedance(k,(0.5:0.05:5)*1e9);
figure;plot((0.5:0.05:5)*1e9,real(zk1),'b',(0.5:0.05:5)*1e9,imag(zk1),'r');grid on;
hold on;plot((0.5:0.05:5)*1e9,real(zk2),'-.g',(0.5:0.05:5)*1e9,imag(zk2),'-.k');
legend('RIteration2','XIteration2','RIteration4','XIteration4');

В легенде 'R' представляет кривую сопротивления, а 'X' представляет кривую Реактива.

Табуляция резонансных частот, электрических длин диполя, фрактального коха с второй и четвертой итерацией.

Iteration = [0;2;4]; % Zeroth iteration corresponds to dipole antenna.
ResonantFrequencies_GHz = {'2.35';'0.87,1.54, 2.5, 3.04, 4.04, 4.53';'0.7, 1.25, 2.05, 2.5, 3.25,3.7,4.5'};
PhysicalLength = [60e-3;60e-3;60e-3];
ElectricalLength = [60e-3; 106.7e-3; 189.6e-3];
table(Iteration,ResonantFrequencies_GHz,PhysicalLength,ElectricalLength)

ans =

  3x4 table

    Iteration           ResonantFrequencies_GHz            PhysicalLength    ElectricalLength
    _________    ______________________________________    ______________    ________________

        0        {'2.35'                              }         0.06                0.06     
        2        {'0.87,1.54, 2.5, 3.04, 4.04, 4.53'  }         0.06              0.1067     
        4        {'0.7, 1.25, 2.05, 2.5, 3.25,3.7,4.5'}         0.06              0.1896     

При количестве итераций, равном двум, антенна резонирует на шести частотах, где первая резонансная частота составляет 0,87 ГГц с электрической длиной koch 106,7 мм. Первая резонансная частота смещена влево по сравнению с резонансной частотой дипольной антенны. Это помогает нам создать дипол koch физической длины меньше, чем длина диполя. При количестве итераций, равном четырем, антенна резонирует на восьми частотах, где первая резонансная частота составляет 0,7 ГГц. Существует увеличение количества резонансных частот, и существует сдвиг влево в резонансных частотах, когда количество итераций увеличивается. Общая длина кривой составляет 189,6 мм ((4/3) ^ n * (k.Length), n = 4).

Создайте дипольную антенну koch четырех итераций с физической длиной 19 мм, что делает электрическую длину 60 мм ((4/3) ^ 4 * 19e-3 = 60e-3). И постройте импеданс в частотной области значений 0,5 ГГц - 5 ГГц.

antK = fractalKoch('Length',19e-3);
figure;impedance(antK,(1.5:0.05:5.5)*1e9);

График импеданса показывает, что дипольная антенна koch резонирует на 2,75 ГГц, что ближе к частоте резонанса дипольной антенны. Но физическая длина диполя koch составляет 19 мм, где как длина диполя составляет 60 мм. Так, размер антенны уменьшается на 68 процентов. Миниатюризация является одним из преимуществ фракталов.

Цикл Фрактала Коха Vs Циклический

Создайте круговой цикл антенну, которая резонирует на 1 ГГц.

antL = design(loopCircular,1e9);
figure;show(antL);

Создайте фрактальную антенну koch цикла, которая резонирует на 1 ГГц. Антенна цикла Koch построена при помощи кривой koch.

antkL = design(fractalKoch('Type','loop'),1e9);
figure;show(antkL);

Радиус антенны кругового цикла составляет 52,1 мм. Периметр 327,2 мм. Радиус окружности, которая описывает цикл koch стороны 74 мм, является sqrt (3) * 74e-3, что равно 42,8 мм. Это значение меньше радиуса антенны кругового цикла для той же резонансной частотной 1GHz. Периметр с двумя итерациями контура koch составляет 395,4 мм (3 * sqrt (3) * (4/3) ^ n * радиус). Кроме того, периметр цикла koch может быть увеличен путем увеличения количества итераций. При количестве итераций, равном четырем, периметр цикла составляет 702,9 мм, что в 2,14 раза больше периметра кругового цикла. Преимущество заключается в увеличениях периметра при сохранении того же объема занимаемого.

Фрактальный ковер

Квадрат взят и фактически (итерация нули) разделён на 9 меньших конгруэнтных квадратов, каждый из которых составляет одну треть исходного квадрата, и центральный квадрат был удален, чтобы получить первую итерацию. Точно так же для второй итерации разделите каждый из восьми оставшихся твердых квадратов на 9 конгруэнтных квадратов и удалите центральный квадрат. Продолжайте тем же способом, чтобы получить дальнейшие итерации ковра.

Создайте фрактальную ковровую антенну с подложкой диэлектрической константы 4,4 и тангенсом потерь 0,03 и с количеством итераций, равным единице.

antC = fractalCarpet;
antC.NumIterations = 1;
sub = dielectric('EpsilonR',4.4,'LossTangent',0.03);
antC.Length = 27.9e-3;
antC.Width = 37.25e-3;
antC.Substrate = sub;
antC.Height = 1.59e-3;
antC.GroundPlaneLength = 48e-3;
antC.GroundPlaneWidth = 57e-3;
antC.FeedOffset= [-0.5*antC.GroundPlaneLength -6e-3];

Сетка антенны с максимальной длиной ребра 20e-3.

mesh(antC,'MaxEdgeLength',20e-3);

Вычислите импеданс, s-параметры в частотной области значений от 1,5 ГГц до 5 ГГц.

freqRange = ((1.5:0.02:5)*1e9);
z1 = impedance(antC,freqRange);
s1 = sparameters(antC,freqRange);

Измените количество итераций на два.

antC.NumIterations = 2;
figure;show(antC);

Вычислите импеданс со второй итерацией и постройте график импеданса первой и второй итераций.

z2 = impedance(antC,freqRange);
figure;plot(freqRange,real(z1),'b',freqRange,imag(z1),'r'); grid on;
hold on;plot(freqRange,real(z2),'-g',freqRange,imag(z2),'-k');
legend('RIteration1','XIteration1','RIteration2','XIteration2');

Фрактальная ковровая антенна резонирует на нескольких частотах. Это связано с самоподобием в геометрии антенны. Резонансные частоты для фрактального ковра с количеством итераций два смещены влево по сравнению с количеством итераций, равным единице.

Вычислите s-параметры во второй итерации и постройте график для первой и второй итераций.

s2 = sparameters(antC,freqRange);
figure;rfplot(s1);
hold on;rfplot(s2);
legend('Iteration1','Iteration2');

Табуляция пропускных способностей и величин коэффициента отражения с первой и второй итерациями.

Iteration = [1;2;2];
FrequencyRange_GHz = {'3.84-3.92';'3.18-3.24';'3.8-3.88'};
ReflectionCoefficients_dB = [-14.22; -11.95; -15.64];
Bandwidth_MHz = [80;60;80];
table(Iteration,FrequencyRange_GHz,Bandwidth_MHz,ReflectionCoefficients_dB)

ans =

  3x4 table

    Iteration    FrequencyRange_GHz    Bandwidth_MHz    ReflectionCoefficients_dB
    _________    __________________    _____________    _________________________

        1          {'3.84-3.92'}            80                   -14.22          
        2          {'3.18-3.24'}            60                   -11.95          
        2          {'3.8-3.88' }            80                   -15.64          

При количестве итераций 1 коэффициент отражения меньше -10dB в одной полосе. С количеством итераций два, существует две полосы частот, как упомянуто в таблице. Свойство самоподобия фракталов дает полосе поведение. Так, фрактальные антенны могут использоваться в разных полосах частот. Площадь фрактального ковра уменьшается (8/9) ^ n от исходной площади квадратной закрашенной фигуры с увеличением количества итераций (n). При n = 1 происходит сокращение площади на 11,1%, а при n = 2 - на 21% по сравнению с областью с итерацией нули.

Заключение

Применение фрактальных геометрий является одним из способов миниатюризации антенн. С увеличением количества итераций, электрической длины диполя, периметра контура koch увеличений. Это увеличение помогает в подборе кривой большой электрической длины в меньший объем. Наблюдается уменьшение размерностей фрактальных антенн по сравнению с обычными антеннами. Самоподобие в геометрии фрактальных антенн, помогает им работать в нескольких полосах. Характеристики миниатюризации и полосы можно наблюдать с другими фракталами, также такими как фрактальная прокладка, фрактальная снежинка и фрактальные островные антенны.

Ссылки

[1] Werner, D. H. and S. Ganguly, «An overview of fractal antenna engineering research», IEEE Antennas and Propagation Magazine, Vol. 45, No. 1, 38-57, 2003.

[2] "Проект и реализация фрактальной антенны ковра Серпинского для беспроводной связи. Рахул Батра, P.L.Zade, Dipika.