Создание полевых массивов Галуа

Создайте массивы полей Галуа с помощью gf функция. Например, создайте элемент 3 в поле Galois $\mathrm{GF}\left(2^2\right)$.

A = gf(3,2)

 
A = GF(2^2) array. Primitive polynomial = D^2+D+1 (7 decimal)
 
Array elements = 
 
   3

Использование массивов полей Галуа

Теперь можно использовать A как будто это встроенный тип данных MATLAB ®. Для примера добавьте два разных элемента в поле Галуа.

A = gf(3,2);
B = gf(1,2);
C = A+B

 
C = GF(2^2) array. Primitive polynomial = D^2+D+1 (7 decimal)
 
Array elements = 
 
   2

Демонстрация арифметики в полях Галуа

Правила для арифметических операций отличаются для элементов поля Галуа по сравнению с целыми числами. Для примера, в $\mathrm{GF}\left(2^2\right)$, 3 + 1 = 2 . В этой таблице показаны некоторые различия между арифметикой поля Галуа и целочисленной арифметикой для целых чисел от 0 до 3.

+__0__1__2__3

0| 0 1 2 3

1| 1 2 3 4

2| 2 3 4 5

3| 3 4 5 6

Определите такую таблицу в MATLAB ®.

A = ones(4,1)*(0:3);
B = (0:3)'*ones(1,4);
A+B

ans = 4×4

     0     1     2     3
     1     2     3     4
     2     3     4     5
     3     4     5     6

Точно так же создайте таблицу сложений для поля Галуа $\mathrm{GF}\left(2^2\right)$.

A = gf(ones(4,1)*(0:3),2);
B = gf((0:3)'*ones(1,4),2);
A+B

 
ans = GF(2^2) array. Primitive polynomial = D^2+D+1 (7 decimal)
 
Array elements = 
 
   0   1   2   3
   1   0   3   2
   2   3   0   1
   3   2   1   0

Используйте функции MATLAB с массивами Galois

Список функций MATLAB ®, которые работают с массивами Galois, см. в gf Galois Computations страница с описанием функции. Например, создайте два разных массива Galois, а затем используйте conv функция для умножения двух полиномов.

A = gf([1 33],8);
B = gf([1 55],8);

C = conv(A,B)

 
C = GF(2^8) array. Primitive polynomial = D^8+D^4+D^3+D^2+1 (285 decimal)
 
Array elements = 
 
     1    22   153

Можно использовать roots функция для поиска корней полинома. Для примера найдите корни полинома C. Результаты показывают, что корни совпадают с исходными значениями в полиномах A и B.

roots(C)

 
ans = GF(2^8) array. Primitive polynomial = D^8+D^4+D^3+D^2+1 (285 decimal)
 
Array elements = 
 
   33
   55

Используйте Хемминговые коды и теорию Галуа

В этом разделе показано, как использовать простой Код Хемминга и теорию поля Галуа для кодирования управления ошибками. Код управления ошибками добавляет избыточность к информационным битам. Для примера (7,4) Код Хемминга преобразует 4 бита информации в 7-битные кодовые слова путем умножения 4 информационных битов на матрицу генерации 4 на 7 в поле Галуа $\mathrm{GF}\left(2\right)$. Используйте hammgen функция для получения этой матрицы.

[paritymat,genmat] = hammgen(3)

paritymat = 3×7

     1     0     0     1     0     1     1
     0     1     0     1     1     1     0
     0     0     1     0     1     1     1

genmat = 4×7

     1     1     0     1     0     0     0
     0     1     1     0     1     0     0
     1     1     1     0     0     1     0
     1     0     1     0     0     0     1

Область выхода paritymat - матрица проверки четности и выход genmat - матрица генератора. Чтобы закодировать информационные биты [0 1 0 0], умножить биты на матрицу генератора genmat в поле Галуа $\mathrm{GF}\left(2\right)$.

A = gf([0 1 0 0],1)

 
A = GF(2) array. 
 
Array elements = 
 
   0   1   0   0

code = A*genmat

 
code = GF(2) array. 
 
Array elements = 
 
   0   1   1   0   1   0   0

В данном примере предположим, что где-то вдоль передачи в это кодовое слово вводится ошибка. Код Hamming, используемый в этом примере, может исправить до 1 битовой ошибки. Вставьте ошибку в передаче, изменив первый бит с 0 на 1.

code(1) = 1

 
code = GF(2) array. 
 
Array elements = 
 
   1   1   1   0   1   0   0

Используйте матрицу проверки четности, чтобы определить, где произошла ошибка, умножив ошибочное кодовое слово на матрицу проверки четности.

paritymat*code'

 
ans = GF(2) array. 
 
Array elements = 
 
   1
   0
   0

Найдите ошибку, проверив матрицу проверки четности, paritymat. Столбец в paritymat который соответствует [1 0 0]' - местоположение ошибки. В этом примере первый столбец является [1 0 0]', таким образом, первый элемент вектора code содержит ошибку.

paritymat

paritymat = 3×7

     1     0     0     1     0     1     1
     0     1     0     1     1     1     0
     0     0     1     0     1     1     1