Этот пример показывает, как эффективно преобразовать частоты дискретизации между произвольными факторами.
Необходимость преобразования частоты дискретизации произвольным фактором возникает во многих приложениях (например, синхронизация символов в цифровых приемниках, кодирование и синтез речи, компьютерная симуляция систем непрерывного времени и т.д.). В этом примере мы рассмотрим пример, где каскады полиномиальных и полифазных фильтров образуют эффективное решение, когда желательно преобразовать частоту дискретизации сигнала с 8 кГц до 44,1 кГц.
Полифазы структуры обычно считаются эффективными реализациями многоскоростных фильтров. Однако в случае преобразования дробной частоты дискретизации количество фаз, и, следовательно, порядок фильтра, может быстро стать чрезмерно высоким. Чтобы переизбрать сигнал с 8 кГц на 44,1 кГц, интерполируем по 441 и децимируем по 80 (8 * 441/80 = 44,1).
sampRateConv = dsp.SampleRateConverter('Bandwidth',6e3, ... 'InputSampleRate',8e3,'OutputSampleRate',44.1e3, ... 'StopbandAttenuation',50);
Это может быть сделано относительно эффективным способом в два этапа:
info(sampRateConv) cost(sampRateConv)
ans =
'Overall Interpolation Factor : 441
Overall Decimation Factor : 80
Number of Filters : 2
Multiplications per Input Sample: 95.175000
Number of Coefficients : 1774
Filters:
Filter 1:
dsp.FIRRateConverter - Interpolation Factor: 147
- Decimation Factor : 80
Filter 2:
dsp.FIRInterpolator - Interpolation Factor: 3
'
ans =
struct with fields:
NumCoefficients: 1774
NumStates: 30
MultiplicationsPerInputSample: 95.1750
AdditionsPerInputSample: 89.6750
Хотя количество операций на входную выборку разумно (примерно 95 умножений - с учетом того, что скорость увеличивается после первого этапа до 14,7 кГц), 1774 коэффициента должны быть сохранены в памяти в этом случае.
Один из способов уменьшить большое количество коэффициентов может заключаться в допуске в выходной частоте выборки, если точная частота не является критической. Для примера установка допуска 1% результатов при частоте выходе 44 кГц, а не 44,1 кГц. Теперь это требует интерполяции на 11 и децимации на 2. Это может быть сделано эффективно с одной ступенью.
sampRateConvWithTol = dsp.SampleRateConverter('Bandwidth',6e3, ... 'InputSampleRate',8e3,'OutputSampleRate',44.1e3, ... 'StopbandAttenuation',50,'OutputRateTolerance',0.01); cost(sampRateConvWithTol)
ans =
struct with fields:
NumCoefficients: 120
NumStates: 12
MultiplicationsPerInputSample: 60
AdditionsPerInputSample: 55
В этом случае необходимо 120 коэффициентов и количество умножений на входную выборку составляет 60.
Полиномиальные фильтры являются другим способом преодоления проблемы необходимости хранения большого количества коэффициентов. Структуры Farrow являются эффективными реализациями для таких фильтров.
farrowSampRateConv_3rd = dsp.FarrowRateConverter('InputSampleRate',8e3, ... 'OutputSampleRate',44.1e3,'PolynomialOrder',3); farrowSampRateConv_4th = dsp.FarrowRateConverter('InputSampleRate',8e3, ... 'OutputSampleRate',44.1e3,'PolynomialOrder',4); cost(farrowSampRateConv_3rd) cost(farrowSampRateConv_4th)
ans =
struct with fields:
NumCoefficients: 16
NumStates: 3
MultiplicationsPerInputSample: 66.1500
AdditionsPerInputSample: 60.6375
ans =
struct with fields:
NumCoefficients: 25
NumStates: 4
MultiplicationsPerInputSample: 121.2750
AdditionsPerInputSample: 99.2250
С полиномами 3-го порядка необходимо 16 коэффициентов и около 66 умножений на входную выборку. Полиномы четвертого порядка обеспечивают немного лучшую lowpass при более высоких затратах: 25 коэффициентов и 121 умножение на входную выборку.
filts = getFilters(sampRateConv); W = linspace(0,44.1e3,2048); % Define the frequency range analysis Fs1 = 8e3*147; % The equivalent single stage filter is clocked at 3.53 MHz hfvt = fvtool(filts.Stage1,farrowSampRateConv_3rd, ... farrowSampRateConv_4th,'FrequencyRange','Specify freq. vector', ... 'FrequencyVector',W,'Fs',[Fs1 3*Fs1 3*Fs1], ... 'NormalizeMagnitudeto1','on','Color','white'); legend(hfvt,'Polyphase Sample-Rate Converter', ... '3rd-Order Farrow Interpolator','4th-Order Farrow Interpolator', ... 'Location','NorthEast')
Обеспечение допуска скорости выхода не оказывает существенного влияния на стоимость реализации фильтра Фэрроу. Однако он изменяет коэффициенты интерполяции и десятикратного уменьшения так же, как для dsp. SampleRateConverter.
farrowSampRateConv_4th = dsp.FarrowRateConverter('InputSampleRate',8e3, ... 'OutputSampleRate',44.1e3,'PolynomialOrder',4, ... 'OutputRateTolerance',0.01); info(farrowSampRateConv_4th) cost(farrowSampRateConv_4th)
ans =
12x52 char array
'Discrete-Time FIR Multirate Filter (real) '
'----------------------------------------- '
'Filter Structure : Farrow Sample-Rate Converter'
'Interpolation Factor : 11 '
'Decimation Factor : 2 '
'Filter Length : 5 '
'Stable : Yes '
'Linear Phase : No '
' '
'Arithmetic : double '
'Output Rate Tolerance : 1.000000 % '
'Adjusted Output Rate : 44000.000000 '
ans =
struct with fields:
NumCoefficients: 25
NumStates: 4
MultiplicationsPerInputSample: 121
AdditionsPerInputSample: 99
Теперь мы пытаемся спроектировать гибридное решение, которое использовало бы два типа фильтров, которые мы ранее видели. Полифазные фильтры особенно хорошо адаптированы для интерполяции или десятикратного уменьшения целочисленным коэффициентом и для фракционных преобразований скорости, когда интерполяция и коэффициенты десятикратного уменьшения низки. Фильтры Farrow могут эффективно реализовать произвольные (в том числе иррациональные) коэффициенты изменения скорости. Во-первых, мы интерполируем исходный сигнал 8 кГц на 4 с помощью каскада конечной импульсной характеристики полуполосы фильтров.
intSampRateConv = dsp.SampleRateConverter('Bandwidth',6e3, ... 'InputSampleRate',8e3,'OutputSampleRate',32e3, ... 'StopbandAttenuation',50); info(intSampRateConv)
ans =
'Overall Interpolation Factor : 4
Overall Decimation Factor : 1
Number of Filters : 1
Multiplications per Input Sample: 34.000000
Number of Coefficients : 34
Filters:
Filter 1:
dsp.FIRInterpolator - Interpolation Factor: 4
'
Затем интерполируем промежуточный сигнал 32 кГц на 44,1/32 = 1.378125, чтобы получить желаемую частоту конечной дискретизации 44,1 кГц. Мы используем кубический фильтр на основе полинома Лагранжа для этой цели.
farrowSampRateConv = dsp.FarrowRateConverter('InputSampleRate',32e3, ... 'OutputSampleRate',44.1e3,'PolynomialOrder',3);
Полный фильтр просто получается путем расположения каскадом двух фильтров.
cost(intSampRateConv) cost(farrowSampRateConv)
ans =
struct with fields:
NumCoefficients: 34
NumStates: 11
MultiplicationsPerInputSample: 34
AdditionsPerInputSample: 31
ans =
struct with fields:
NumCoefficients: 16
NumStates: 3
MultiplicationsPerInputSample: 16.5375
AdditionsPerInputSample: 15.1594
Количество коэффициентов этого гибридного проекта относительно мало (36), и количество умножений на вход выборку также относительно мало: 28 + 16 * 4 = 92. Комбинированная частотная характеристика этих двух проектов выше, чем у farrowSampRateConv_3rd или farrowSampRateConv_4th.
[Hsrc,f] = freqz(intSampRateConv); Fsfar = 32e3*441; Hfsrc = freqz(farrowSampRateConv,f,Fsfar); Hhybrid = Hsrc.*Hfsrc; Hhybrid_norm = Hhybrid/norm(Hhybrid,inf); % Normalize magnitude to 0 dB plot(f,20*log10(abs(Hhybrid_norm))); xlabel('Frequency (Hz)') ylabel('Magnitude (dB)') legend('Combined polyphase and Farrow sample rate converters', ... 'Location','NorthEast')
Теперь мы перекрываем частотные характеристики одноступенчатых и многоступенчатых проектов. Очевидно, что ответы очень сопоставимы.
scope = dsp.SpectrumAnalyzer('SpectralAverages',50, ... 'SampleRate',44.1e3,'PlotAsTwoSidedSpectrum',false, ... 'YLimits',[-80 20],'ShowLegend',true, ... 'ChannelNames',{'Single-stage design','Multi-stage design'}); tic, while toc < 20 % Run for 20 seconds x = randn(8000,1); % Convert rate using multistage FIR filters y1 = sampRateConv(x); % Convert rate using cascade of multistage FIR and Farrow filter ytemp = intSampRateConv(x); y2 = farrowSampRateConv(ytemp); % Compare the output from both approaches scope([y1,y2]) end
