Введение

CORDIC - это аббревиатура для COordinate Rotation DIgital Computer. Алгоритм CORDIC на основе вращения Givens (см. [1,2]) является одним из наиболее аппаратно эффективных алгоритмов, потому что он требует только итерационных операций shift-add. Алгоритм CORDIC устраняет необходимость в явных умножителях и подходит для вычисления множества функций, таких как синус, косинус, арксин, арксозин, арктангенс, векторные величины, деление, квадратный корень, гиперболические и логарифмические функции.

Алгоритм CORDIC с фиксированной точкой требует следующих операций:

Алгоритм ядра CORDIC, использующий режим расчета

Можно использовать алгоритм режима вычисления векторизации CORDIC, чтобы вычислить atan(y/x), вычисление декартово-полярных в декартовые преобразования и для других операций. В режиме векторизации вращатель CORDIC вращает входной вектор к положительной оси X, чтобы минимизировать компонент вектора невязок. Для каждой итерации, если координата вектора невязок положительная, вращатель CORDIC вращается по часовой стрелке (с использованием отрицательного угла); в противном случае он вращается против часовой стрелки (с помощью положительного угла). Каждое вращение использует постепенно меньшее значение угла. Если аккумулятор угла инициализирован равным 0, в конце итераций накопленный угол поворота является углом исходного входного вектора.

В режиме векторизации уравнения CORDIC:

- аккумулятор угла

где если и в противном случае;

, и общее количество итераций.

По мере приближения:

Где:

.

Обычно выбирается как достаточно большое постоянное значение. Таким образом, могут быть предварительно вычислены.

Эффективная реализация MATLAB алгоритма CORDIC Vectoring Kernel

Пример реализации кода MATLAB алгоритма CORDIC Vectoring Kernel следует (для случая скаляра x, y, и z). Этот же код может использоваться как для операции с фиксированной точкой, так и для операции с плавающей точкой.

Ядро векторизации CORDIC

function [x, y, z] = cordic_vectoring_kernel(x, y, z, inpLUT, n)
% Perform CORDIC vectoring kernel algorithm for N iterations.
xtmp = x;
ytmp = y;
for idx = 1:n
    if y < 0
        x(:) = accumneg(x, ytmp);
        y(:) = accumpos(y, xtmp);
        z(:) = accumneg(z, inpLUT(idx));
    else
        x(:) = accumpos(x, ytmp);
        y(:) = accumneg(y, xtmp);
        z(:) = accumpos(z, inpLUT(idx));
    end
    xtmp = bitsra(x, idx); % bit-shift-right for multiply by 2^(-idx)
    ytmp = bitsra(y, idx); % bit-shift-right for multiply by 2^(-idx)
end

Декартовое преобразование в полярное на основе CORDIC с использованием нормализованных входных модулей

Декартовы-полярные расчеты с использованием ядра векторизации CORDIC

Разумный выбор начальных значений позволяет алгоритму CORDIC vectoring mode непосредственно вычислить величину и угол.

Входные аккумуляторы инициализируются по входным значениям координат:

Аккумулятор угла инициализируется в нуль:

После итераций эти начальные значения приводят к следующим выходам как подходы:

Другие основанные на векторизации приближения функций возможны с помощью предварительной и постобработки и с использованием других начальных условий (см. [1,2]).

Пример

Предположим, что у вас есть некоторые измерения Декартовых (X, Y) данных, нормированных к значениям между [-1, 1), которые вы хотите преобразовать в полярные (величина, угол) координаты. Также предположим, что у вас есть 16-битный целочисленный арифметический модуль, которая может выполнять операции сложения, вычитания, сдвига и памяти. С помощью такого устройства можно было бы реализовать ядро векторизации CORDIC, чтобы эффективно вычислить величину и угол от входных (X, Y) значений координат, без использования умножений или больших интерполяционных таблиц.

sumWL  = 16; % CORDIC sum word length
thNorm = -1.0:(2^-8):1.0; % Also using normalized [-1.0, 1.0] angle values
theta  = fi(thNorm, 1, sumWL); % Fixed-point angle values (best precision)
z_NT   = numerictype(theta);   % Data type for Z
xyCPNT = numerictype(1,16,15); % Using normalized X-Y range [-1.0, 1.0)
thetaRadians = pi/2 .* thNorm; % real-world range [-pi/2 pi/2] angle values
inXfix = fi(0.50 .* cos(thetaRadians), xyCPNT); % X coordinate values
inYfix = fi(0.25 .* sin(thetaRadians), xyCPNT); % Y coordinate values

niters = 13; % Number of CORDIC iterations
inpLUT = fi(atan(2 .^ (-((0:(niters-1))'))) .* (2/pi), z_NT); % Normalized
z_c2p  = fi(zeros(size(theta)), z_NT);   % Z array pre-allocation
x_c2p  = fi(zeros(size(theta)), xyCPNT); % X array pre-allocation
y_c2p  = fi(zeros(size(theta)), xyCPNT); % Y array pre-allocation

for idx = 1:length(inXfix)
    % CORDIC vectoring kernel iterations
    [x_c2p(idx), y_c2p(idx), z_c2p(idx)] = ...
        fidemo.cordic_vectoring_kernel(...
            inXfix(idx), inYfix(idx), fi(0, z_NT), inpLUT, niters);
end

% Get the Real World Value (RWV) of the CORDIC outputs for comparison
% and plot the error between the (magnitude, angle) values
AnGain       = prod(sqrt(1+2.^(-2*(0:(niters-1))))); % CORDIC gain
x_c2p_RWV    = (1/AnGain) .* double(x_c2p); % Magnitude (scaled by CORDIC gain)
z_c2p_RWV    =   (pi/2)   .* double(z_c2p); % Angles (in radian units)
[thRWV,rRWV] = cart2pol(double(inXfix), double(inYfix)); % MATLAB reference
magnitudeErr = rRWV - x_c2p_RWV;
angleErr     = thRWV - z_c2p_RWV;
figure;
subplot(411);
plot(thNorm, x_c2p_RWV);
axis([-1 1 0.25 0.5]);
title('CORDIC Magnitude (X) Values');
subplot(412);
plot(thNorm, magnitudeErr);
title('Error between Magnitude Reference Values and X Values');
subplot(413);
plot(thNorm, z_c2p_RWV);
title('CORDIC Angle (Z) Values');
subplot(414);
plot(thNorm, angleErr);
title('Error between Angle Reference Values and Z Values');

Ссылки