Функция Розенбрка

Этот пример использует функцию Розенбрка (также известную как вторая функция Дэджонга) в качестве функции соответствия:

$$f(x)=100(x(2)-x(1{)}^2{)}^2+(1-x(1){)}^2$$.

Функция Розенбрка пресловута в оптимизации из-за медленной сходимости, большинство методов проявляются при попытке минимизировать эту функцию. Функция Розенбрка имеет уникальный минимум в точке x * = (1,1), где она имеет значение функции$$f(x^{*})=0$$.

Код функции Розенбрка находится в dejong2fcn файл.

type dejong2fcn.m

function scores = dejong2fcn(pop)
%DEJONG2FCN Compute DeJongs second function.
%This function is also known as Rosenbrock's function

%   Copyright 2003-2004 The MathWorks, Inc.

scores = zeros(size(pop,1),1);
for i = 1:size(pop,1)
    p = pop(i,:);
    scores(i) = 100 * (p(1)^2 - p(2)) ^2 + (1 - p(1))^2;
end

Постройте график функции Розенбрка в области значений -2 < = x (1) < = 2; -2 < = x (2) < = 2.

plotobjective(@dejong2fcn,[-2 2;-2 2]);

Решение генетического алгоритма

Во-первых, используйте ga один, чтобы найти минимум функций Розенбрка.

FitnessFcn = @dejong2fcn;
numberOfVariables = 2;

Включите функции построения графика, чтобы контролировать процесс оптимизации.

options = optimoptions(@ga,'PlotFcn',{@gaplotbestf,@gaplotstopping});

Установите поток случайных чисел для повторяемости и запустите ga использование опций.

rng default
[x,fval] = ga(FitnessFcn,numberOfVariables,[],[],[],[],[],[],[],options)

Optimization terminated: average change in the fitness value less than options.FunctionTolerance.

x = 1×2

    0.3454    0.1444

fval = 0.4913

Используя критерий остановки по умолчанию, ga не обеспечивает очень точного решения. Можно изменить критерий остановки, чтобы попытаться найти более точное решение, но ga требует многих вычислений функции, чтобы приблизиться к глобальному оптимуму x * = (1,1).

Вместо этого выполните более эффективный локальный поиск, который начинается с ga останавливается при помощи опции гибридной функции в ga.

Добавление гибридной функции

Гибридная функция начинается с точки, где ga остановки. Варианты гибридных функций fminsearch, patternsearch, или fminunc. Поскольку этот пример оптимизации плавен и не ограничен, используйте fminunc как гибридная функция. Обеспечивайте fminunc с опциями plot в качестве дополнительного аргумента при задании гибридной функции.

fminuncOptions = optimoptions(@fminunc,'PlotFcn',{'optimplotfval','optimplotx'});
options = optimoptions(options,'HybridFcn',{@fminunc, fminuncOptions});

Выполняйте ga снова с fminunc как гибридная функция.

[x,fval,exitflag,output] = ga(FitnessFcn,numberOfVariables,[],[],[],[],[],[],[],options)

Optimization terminated: average change in the fitness value less than options.FunctionTolerance.

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less than
the value of the optimality tolerance.

x = 1×2

    1.0000    1.0000

fval = 1.7215e-11

exitflag = 1

output = struct with fields:
      problemtype: 'unconstrained'
         rngstate: [1x1 struct]
      generations: 51
        funccount: 2534
          message: 'Optimization terminated: average change in the fitness value less than options.FunctionTolerance....'
    maxconstraint: []
       hybridflag: 1

The ga график показывает лучшие и средние значения населения в каждой генерации. Заголовок графика определяет лучшее значение, найденное по ga когда он останавливается. Гибридная функция fminunc начинается с лучшей точки, найденной по ga. The fminunc график показывает решение x и fval, которые являются результатом использования ga и fminunc вместе. В этом случае использование гибридной функции повышает точность и эффективность решения. The output.hybridflag поле показывает, что fminunc останавливается с выходным флагом 1, что указывает на то, что x является истинным локальным минимумом.