Сравнение fminimax и fminunc
Задача minimax минимизирует максимум множества целевых функций. Почему бы не минимизировать эту максимальную функцию, которая является скалярной функцией? Ответ заключается в том, что максимум не гладок, и решатели Optimization Toolbox™, такие как fminunc требовать плавности.
Для примера задайте fun(x) как три линейные целевые функции в двух переменных и fun2 как максимум из этих трех целей.
a = [1;1]; b = [-1;1]; c = [0;-1]; a0 = 2; b0 = -3; c0 = 4; fun = @(x)[x*a+a0,x*b+b0,x*c+c0]; fun2 = @(x)max(fun(x),[],2);
Постройте график максимум трех целей.
[X,Y] = meshgrid(linspace(-5,5)); Z = fun2([X(:),Y(:)]); Z = reshape(Z,size(X)); surf(X,Y,Z,'LineStyle','none') view(-118,28)
fminimax находит минимаксную точку легко.
x0 = [0,0]; [xm,fvalm,maxfval] = fminimax(fun,x0)
Local minimum possible. Constraints satisfied. fminimax stopped because the size of the current search direction is less than twice the value of the step size tolerance and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
xm = 1×2
-2.5000 2.2500
fvalm = 1×3
1.7500 1.7500 1.7500
maxfval = 1.7500
Однако fminunc останавливается в точке, которая находится далеко от минимаксной точки.
[xu,fvalu] = fminunc(fun2,x0)
Local minimum possible. fminunc stopped because it cannot decrease the objective function along the current search direction.
xu = 1×2
0 1.0000
fvalu = 3.0000
fminimax находит лучшее (меньшее) решение.
fprintf("fminimax finds a point with objective %g,\nwhile fminunc finds a point with objective %g.",maxfval,fvalu)fminimax finds a point with objective 1.75, while fminunc finds a point with objective 3.