Минимаксная оптимизация
Этот пример показов, как решить нелинейную задачу создания фильтра с помощью минимаксного алгоритма оптимизации, fminimax, в Optimization Toolbox™. Обратите внимание, что для запуска этого примера необходимо установить Signal Processing Toolbox™.
Установите параметры конечной точности
Рассмотрим пример для проекта фильтров конечной точности. Для этого необходимо задать не только параметры создания фильтра, такие как частота отключения и количество коэффициентов, но и то, сколько биты доступно, поскольку проект имеет конечную точность.
nbits = 8; % How many bits have we to realize filter maxbin = 2^nbits-1; % Maximum number expressable in nbits bits n = 4; % Number of coefficients (order of filter plus 1) Wn = 0.2; % Cutoff frequency for filter Rp = 1.5; % Decibels of ripple in the passband w = 128; % Number of frequency points to take
Сначала непрерывный проект
Это непрерывное создание фильтра; используем cheby1но мы также могли бы использовать ellip, yulewalk или remez здесь:
[b1,a1] = cheby1(n-1,Rp,Wn); [h,w] = freqz(b1,a1,w); % Frequency response h = abs(h); % Magnitude response plot(w, h) title('Frequency response using non-integer variables')
x = [b1,a1]; % The design variablesУстановите границы для коэффициентов фильтра
Теперь мы устанавливаем ограничения на максимальное и минимальное значения:
if (any(x < 0)) % If there are negative coefficients - must save room to use a sign bit % and therefore reduce maxbin maxbin = floor(maxbin/2); vlb = -maxbin * ones(1, 2*n)-1; vub = maxbin * ones(1, 2*n); else % otherwise, all positive vlb = zeros(1,2*n); vub = maxbin * ones(1, 2*n); end
Масштабные коэффициенты
Установите самое большое значение, равное maxbin, и соответственно масштабируйте другие коэффициенты фильтра.
[m, mix] = max(abs(x)); factor = maxbin/m; x = factor * x; % Rescale other filter coefficients xorig = x; xmask = 1:2*n; % Remove the biggest value and the element that controls D.C. Gain % from the list of values that can be changed. xmask(mix) = []; nx = 2*n;
Установите критерии оптимизации
Использование optimoptions, настроить критерии прекращения на достаточно высокие значения для содействия короткому времени работы. Также включите отображение результатов при каждой итерации:
options = optimoptions('fminimax', ... 'StepTolerance', 0.1, ... 'OptimalityTolerance', 1e-4,... 'ConstraintTolerance', 1e-6, ... 'Display', 'iter');
Минимизируйте абсолютные максимальные значения
Нам нужно минимизировать абсолютные максимальные значения, поэтому мы устанавливаем опции. MinAbsMax по количеству частотных точек:
if length(w) == 1 options = optimoptions(options,'AbsoluteMaxObjectiveCount',w); else options = optimoptions(options,'AbsoluteMaxObjectiveCount',length(w)); end
Исключите первое значение для оптимизации
Дискретизируйте и устраните первое значение и выполните оптимизацию по вызову FMINIMAX:
[x, xmask] = elimone(x, xmask, h, w, n, maxbin)
x = 1×8
0.5441 1.6323 1.6323 0.5441 57.1653 -127.0000 108.0000 -33.8267
xmask = 1×6
1 2 3 4 5 8
niters = length(xmask);
disp(sprintf('Performing %g stages of optimization.\n\n', niters));Performing 6 stages of optimization.
for m = 1:niters fun = @(xfree)filtobj(xfree,x,xmask,n,h,maxbin); % objective confun = @(xfree)filtcon(xfree,x,xmask,n,h,maxbin); % nonlinear constraint disp(sprintf('Stage: %g \n', m)); x(xmask) = fminimax(fun,x(xmask),[],[],[],[],vlb(xmask),vub(xmask),... confun,options); [x, xmask] = elimone(x, xmask, h, w, n, maxbin); end
Stage: 1
Objective Max Line search Directional
Iter F-count value constraint steplength derivative Procedure
0 8 0 0.00329174
1 17 0.0001845 3.34e-07 1 0.0143
Local minimum possible. Constraints satisfied.
fminimax stopped because the size of the current search direction is less than
twice the value of the step size tolerance and constraints are
satisfied to within the value of the constraint tolerance.
Stage: 2
Objective Max Line search Directional
Iter F-count value constraint steplength derivative Procedure
0 7 0 0.0414182
1 15 0.01649 0.0002558 1 0.261
2 23 0.01544 6.126e-07 1 -0.0282 Hessian modified
Local minimum possible. Constraints satisfied.
fminimax stopped because the size of the current search direction is less than
twice the value of the step size tolerance and constraints are
satisfied to within the value of the constraint tolerance.
Stage: 3
Objective Max Line search Directional
Iter F-count value constraint steplength derivative Procedure
0 6 0 0.0716961
1 13 0.05943 -1.156e-11 1 0.776
Local minimum possible. Constraints satisfied.
fminimax stopped because the size of the current search direction is less than
twice the value of the step size tolerance and constraints are
satisfied to within the value of the constraint tolerance.
Stage: 4
Objective Max Line search Directional
Iter F-count value constraint steplength derivative Procedure
0 5 0 0.129938
1 11 0.04278 2.937e-10 1 0.183
Local minimum possible. Constraints satisfied.
fminimax stopped because the size of the current search direction is less than
twice the value of the step size tolerance and constraints are
satisfied to within the value of the constraint tolerance.
Stage: 5
Objective Max Line search Directional
Iter F-count value constraint steplength derivative Procedure
0 4 0 0.0901749
1 9 0.03867 -4.951e-11 1 0.256
Local minimum possible. Constraints satisfied.
fminimax stopped because the size of the current search direction is less than
twice the value of the step size tolerance and constraints are
satisfied to within the value of the constraint tolerance.
Stage: 6
Objective Max Line search Directional
Iter F-count value constraint steplength derivative Procedure
0 3 0 0.11283
1 7 0.05033 -1.249e-16 1 0.197
Local minimum possible. Constraints satisfied.
fminimax stopped because the size of the current search direction is less than
twice the value of the step size tolerance and constraints are
satisfied to within the value of the constraint tolerance.
Проверяйте ближайшие целочисленные значения
Проверьте, дают ли близлежащие значения лучший фильтр.
xold = x; xmask = 1:2*n; xmask([n+1, mix]) = []; x = x + 0.5; for i = xmask [x, xmask] = elimone(x, xmask, h, w, n, maxbin); end xmask = 1:2*n; xmask([n+1, mix]) = []; x = x - 0.5; for i = xmask [x, xmask] = elimone(x, xmask, h, w, n, maxbin); end if any(abs(x) > maxbin) x = xold; end
Сравнения частотной характеристики
Сначала строим график частотной характеристики фильтра и сравниваем его с фильтром, где коэффициенты просто округлены вверх или вниз:
subplot(211) bo = x(1:n); ao = x(n+1:2*n); h2 = abs(freqz(bo,ao,128)); plot(w,h,w,h2,'o') title('Optimized filter versus original') xround = round(xorig)
xround = 1×8
1 2 2 1 57 -127 108 -34
b = xround(1:n); a = xround(n+1:2*n); h3 = abs(freqz(b,a,128)); subplot(212) plot(w,h,w,h3,'+') title('Rounded filter versus original')
fig = gcf;
fig.NextPlot = 'replace';