Найдите электростатический потенциал в заполненной воздухом кольцевой четырехугольной системе координат с помощью приложения PDE Modeler. Для этого примера используйте следующие параметры:
Внутренняя квадратная сторона 0,2 м
Внешняя квадратная сторона 0,5 м
Электростатический потенциал во внутреннем контуре 1000 V
Электростатический потенциал во внешнем контуре 0 V
УЧП, управляющая этой задачей, является уравнением Пуассона
– ∇ · (ε <reservedrangesplaceholder1>) = ρ.
Приложение PDE Modeler использует относительную диэлектрическую проницаемость ε r = ε/ ε 0, где ε 0 является абсолютной диэлектрической проницаемостью вакуума (8,854· 10-12 фарад/метр). Относительная диэлектрическая проницаемость воздуха составляет 1.00059. Обратите внимание, что коэффициент диэлектрической проницаемости не влияет на результат в этом примере, пока коэффициент является постоянным.
Принимая, что в области нет заряда, можно упростить уравнение Пуассона к уравнению Лапласа,
Β V = 0.
Здесь граничными условиями являются граничные условия Дирихле V = 1000 на внутреннем контуре и V = 0 на внешнем контуре.
Чтобы решить эту проблему в приложении PDE Modeler, выполните следующие шаги:
Нарисуйте следующие два квадрата.
pderect([-0.1 0.1 -0.1 0.1]) pderect([-0.25 0.25 -0.25 0.25])
Установите оба x - и y - пределов по осям [-0.3 0.3]. Для этого выберите Options > Axes Limits и установите соответствующие области значений. Затем выберите Options > Axes Equal.
Моделируйте систему координат путем ввода SQ2-SQ1 в поле Set formula.
Установите режим приложения равным Electrostatics.
Задайте граничные условия. Для этого перейдите в граничный режим путем выбора Boundary > Boundary Mode. Используйте команду Shift + нажатие кнопки, чтобы выбрать несколько контуры. Затем выберите Boundary > Specify Boundary Conditions.
Для внутренних контуров используйте граничное условие Дирихле с h = 1 и r = 1000.
Для внешних контуров используйте граничное условие Дирихле с h = 1 и r = 0.
Задайте коэффициенты, выбрав PDE > PDE Specification или нажав кнопку PDE на панели инструментов. Задайте epsilon = 1 и rho = 0.
Инициализируйте mesh путем выбора Mesh > Initialize Mesh.
Решить УЧП можно путем выбора Solve > Solve PDE или нажатия кнопки = на панели инструментов.
Постройте график эквипотенциальных линий с помощью контурного графика. Для этого выберите Plot > Parameters и выберите контурный график в получившемся диалоговом окне.
Улучшите точность решения путем уточнения mesh вблизи повторяющихся углов, где градиенты являются крутыми. Для этого выберите Solve > Parameters. Выберите Adaptive mode, используйте метод выбора Worst triangles и установите максимальное количество треугольников равным 500. Выберите Mesh > Refine Mesh.
Решить УЧП можно используя рафинированный mesh. Чтобы отобразить эквипотенциальные линии на каждом 100-м вольте, выберите Plot > Parameters и введите 0:100:1000 в поле Contour plot levels.
