Распределение тепла в круговом цилиндрическом стержне: PDE Modeler приложение

Решите 3-D параболическую задачу УЧП, сократив задачу до 2-D с помощью координатного преобразования. Этот пример использует приложение PDE Modeler. Для решения в командной строке смотрите Распределение тепла в Круговом Цилиндрическом Штоке.

Рассмотрим цилиндрический радиоактивный шток. На левом конце стержня непрерывно добавляется тепло, на правом - постоянная температура. На внешнем контуре происходит обмен теплом с окружающей средой передачей. При этом тепло равномерно производится во всем стержне за счет радиоактивных процессов. Предположение, что начальная температура равна нулю, приводит к следующему уравнению:

$ρ C \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (k \nabla u) = q$

Здесь ρ, C и k - плотность, теплоемкость и теплопроводность материала, u - температура, а q - тепло, выделяемое в стержне.

Поскольку задача является осесимметричной, удобно записать это уравнение в цилиндрическую систему координат.

$ρ C \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (k r \frac{\partial u}{\partial r}) - \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial θ} (k \frac{\partial u}{\partial θ}) - \frac{\partial}{\partial z} (k \frac{\partial u}{\partial z}) = q$

Здесь r, θ и z являются тремя переменными координат цилиндрической системы. Потому что задача осесимметричная, $\partial u / \partial θ = 0$ .

Это цилиндрическая задача, и Partial Differential Equation Toolbox™ требует, чтобы уравнения были в Декартовых координатах. Чтобы преобразовать уравнение в Декартовы координаты, сначала умножите обе стороны уравнения на r:

$ρ r C \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial}{\partial r} (k r \frac{\partial u}{\partial r}) - \frac{\partial}{\partial z} (k r \frac{\partial u}{\partial z}) = q r$

Затем задайте r как y и z как x:

$ρ y C \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (k y \nabla u) = q y$

В данном примере используйте следующие параметры:

Плотность, ρ = 7800 кг/м³
Теплоемкость, C = 500 Вт· с/кг· ° С
Теплопроводность, k = 40 Вт/мС
Источник радиоактивного тепла, q = 20000 Вт/м³
Температура на правом конце, T_right = 100 ° C
Тепловой поток на левом конце, HF_left = 5000 Вт/м²
Окружающая температура на внешнем контуре, T_outer = 100 ° C
Коэффициент теплопередачи, h_outer = 50 Вт/м²· αC

Чтобы решить эту проблему в приложении PDE Modeler, выполните следующие шаги:

Смоделируйте шток как прямоугольник с углами в (-1,5,0), (1.5,0), (1.5,0,2) и (-1,5,0,2). Здесь x -ось представляет направление z, а y -ось представляет направление r.
```
pderect([-1.5,1.5,0,0.2])
```
Задайте граничные условия. Для этого дважды кликните контуры, чтобы открыть диалоговое окно Boundary Condition. Приложение PDE Modeler требует граничных условий в определенной форме. Таким образом, граничные условия Неймана должны быть в виде $\vec{n} \cdot (c \nabla u) + q u = g$ , и условия контура Дирихле должны быть в форме h u = r. Кроме того, поскольку обе стороны уравнения умножены на r = y, умножьте коэффициенты для граничных условий на y.
- Для левого конца используйте условие Неймана $\vec{n} \cdot (k \nabla u) = H F_l e f t = 5000$ . Задайте g = 5000*y и q = 0.
- Для правого конца используйте условие Дирихле u = T_right = 100. Задайте h = 1 и r = 100.
- Для внешнего контура используйте условие Неймана $\vec{n} \cdot (k \nabla u) = h_o u t e r (T_o u t e r - u) = 50 (100 - u)$ . Задайте g = 50*y*100 и q = 50*y.
- Ось цилиндра r = 0 не является контуром в исходной задаче, но при 2-D обработке она стала единым целым. Используйте искусственное граничное условие Неймана для оси, $\vec{n} \cdot (k \nabla u) = 0$ . Задайте g = 0 и q = 0.
Задайте коэффициенты, выбрав PDE > PDE Specification или нажмите кнопку PDE на панели инструментов. Тепловое уравнение является параболическим уравнением, поэтому выберите Parabolic тип PDE. Поскольку обе стороны уравнения умножены на r = y, умножьте коэффициенты на y и введите следующие значения: c = 40*y, a = 0, f = 20000*y, и d = 7800*500*y.
Инициализируйте mesh путем выбора Mesh > Initialize Mesh.
Установите начальное значение 0, время решения 20000 секунд и вычислите решение каждые 100 секунд. Для этого выберите Solve > Parameters. В диалоговом окне Solve Parameters установите время на 0:100:20000, и u (_t 0), чтобы 0.
Решить уравнение можно, выбрав Solve > Solve PDE или нажав кнопку = на панели инструментов.
Постройте график решения, используя цвет и контурный график. Для этого выберите Plot > Parameters и выберите цвет и контурные графики в получившемся диалоговом окне.

Можно исследовать решение, варьируя параметры модели и строя график результатов. Для примера можно:

Покажите решение, когда u не зависит от времени, то есть от устойчивого решения. Для этого откройте диалоговое окно Спецификация PDE и измените тип PDE на Elliptic. Получившееся в результате решение в установившемся состоянии находится в тесном согласии с переходным решением в 20000 секунд.
Покажите устойчивое решение без охлаждения на внешнем контуре: коэффициент теплопередачи равен нулю. Для этого установите граничное условие Неймана на внешнем контуре (верхняя сторона прямоугольника) равным g = 0 и q = 0. Полученный график показывает, что температура повышается до более чем 2500 на левом конце стержня.

Документация

Распределение тепла в круговом цилиндрическом стержне: PDE Modeler приложение

Partial Differential Equation Toolbox производными

Поддержка