Минимальный электрический потенциал

Этот пример показывает, как найти минимальный электрический потенциал путем решения уравнения

на единичном диске $\Omega =\left\{\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)|{\mathit{x}}^2+{\mathit{y}}^2\le 1\right\}$, с $\mathit{V}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)={\mathit{x}}^2$ на контуре $\partial \Omega$. Вот, $\epsilon$ - абсолютная диэлектрическая диэлектрическая проницаемость материала. Тулбокс использует относительную диэлектрическую проницаемость материала ${\epsilon }_{\mathit{r}}=\epsilon /{\epsilon }_0$, где ${\epsilon }_0$- абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума. Обратите внимание, что константа ${\epsilon }_0$не влияет на результат в этом примере.

Для минимальной поверхностной задачи значение $\epsilon$ дается

Поскольку диэлектрическая проницаемость является функцией решения V, минимальная поверхностная задача является нелинейной эллиптической задачей.

Чтобы решить задачу минимальной поверхности, сначала создайте электромагнитную модель для электростатического анализа.

emagmodel = createpde('electromagnetic','electrostatic');

Создайте геометрию и включите ее в модель. The circleg функция представляет эту геометрию.

geometryFromEdges(emagmodel,@circleg);

Постройте график геометрии с метками ребер.

pdegplot(emagmodel,'EdgeLabels','on'); 
axis equal
title 'Geometry with Edge Labels';

Задайте значение вакуумной диэлектрической проницаемости в системе модулей СИ.

emagmodel.VacuumPermittivity = 8.8541878128E-12;

Задайте относительную диэлектрическую проницаемость материала.

perm = @(region,state) 1./sqrt(1+state.ux.^2 + state.uy.^2);
electromagneticProperties(emagmodel,'RelativePermittivity',perm); 

Задайте электростатический потенциал на контуре с помощью функции$\mathit{V}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)={\mathit{x}}^2$.

bc = @(region,~)region.x.^2;
electromagneticBC(emagmodel,'Voltage',bc,'Edge',1:emagmodel.Geometry.NumEdges); 

Сгенерируйте и постройте график mesh.

generateMesh(emagmodel);
figure; 
pdemesh(emagmodel); 
axis equal

Решить модель.

R = solve(emagmodel);
V = R.ElectricPotential;

Постройте график электрического потенциала, используя Contour параметр для отображения эквипотенциальных линий.

figure; 
pdeplot(emagmodel,'XYData',V,'ZData',V,'Contour','on');
xlabel 'x'
ylabel 'y'
zlabel 'V(x,y)'
title 'Minimal Electric Potential'