Метод модальной суперпозиции для задачи структурной динамики
В этом примере показано, как решить задачу структурной динамики с помощью результатов модального анализа. Решите для переходного процесса в центре 3-D луча под гармонической нагрузкой на один из его углов. Сравните результаты прямого интегрирования с результатами, полученными модальной суперпозицией.
Модальный анализ
Создайте модель модального анализа для 3-D задачи.
modelM = createpde('structural','modal-solid');
Создайте геометрию и включите ее в модель. Постройте график геометрии и отобразите метки ребра и вершины.
gm = multicuboid(0.05,0.003,0.003); modelM.Geometry=gm; pdegplot(modelM,'EdgeLabels','on','VertexLabels','on'); view([95 5])
Сгенерируйте mesh.
msh = generateMesh(modelM);
Задайте модуль Юнга, отношение Пуассона и массовую плотность материала.
structuralProperties(modelM,'YoungsModulus',210E9, ... 'PoissonsRatio',0.3, ... 'MassDensity',7800);
Задайте минимальные ограничения на одном конце балки, чтобы предотвратить режимы твердого тела. Например, задайте, что ребро 4 и вершина 7 являются фиксированными контурами.
structuralBC(modelM,'Edge',4,'Constraint','fixed'); structuralBC(modelM,'Vertex',7,'Constraint','fixed');
Решите задачу для частотной области значений от 0 до 500000. Рекомендуемый подход состоит в том, чтобы использовать значение, которое немного меньше ожидаемой самой низкой частоты. Таким образом, используйте -0.1 вместо 0.
Rm = solve(modelM,'FrequencyRange',[-0.1,500000]);Переходный анализ
Создайте переходную модель анализа для 3-D задачи.
modelD = createpde('structural','transient-solid');
Используйте ту же геометрию и mesh, что и для модального анализа.
modelD.Geometry = gm; modelD.Mesh = msh;
Задайте те же значения для модуля Юнга, отношения Пуассона и массовой плотности материала.
structuralProperties(modelD,'YoungsModulus',210E9, ... 'PoissonsRatio',0.3, ... 'MassDensity',7800);
Задайте те же минимальные ограничения на одном конце балки, чтобы предотвратить режимы твердого тела.
structuralBC(modelD,'Edge',4,'Constraint','fixed'); structuralBC(modelD,'Vertex',7,'Constraint','fixed');
Применить синусоидальную силу к углу, противоположному ограниченному ребру и вершине.
structuralBoundaryLoad(modelD,'Vertex',5,'Force',[0,0,10],'Frequency',7600);
Задайте нулевое начальное перемещение и скорость.
structuralIC(modelD,'Velocity',[0;0;0],'Displacement',[0;0;0]);
Задайте относительные и абсолютные погрешности для решателя.
modelD.SolverOptions.RelativeTolerance = 1E-5; modelD.SolverOptions.AbsoluteTolerance = 1E-9;
Решить модель можно с помощью метода прямого интегрирования по умолчанию.
tlist = linspace(0,0.004,120); Rd = solve(modelD,tlist)
Rd =
TransientStructuralResults with properties:
Displacement: [1x1 FEStruct]
Velocity: [1x1 FEStruct]
Acceleration: [1x1 FEStruct]
SolutionTimes: [1x120 double]
Mesh: [1x1 FEMesh]
Теперь решите модель, используя модальные результаты.
tlist = linspace(0,0.004,120);
Rdm = solve(modelD,tlist,'ModalResults',Rm)Rdm =
TransientStructuralResults with properties:
Displacement: [1x1 FEStruct]
Velocity: [1x1 FEStruct]
Acceleration: [1x1 FEStruct]
SolutionTimes: [1x120 double]
Mesh: [1x1 FEMesh]
Интерполируйте перемещение в центре балки.
intrpUd = interpolateDisplacement(Rd,0,0,0.0015); intrpUdm = interpolateDisplacement(Rdm,0,0,0.0015);
Сравните результаты прямого интегрирования с результатами, полученными модальной суперпозицией.
plot(Rd.SolutionTimes,intrpUd.uz,'bo') hold on plot(Rdm.SolutionTimes,intrpUdm.uz,'rx') grid on legend('Direct integration', 'Modal superposition') xlabel('Time'); ylabel('Center of beam displacement')
