Эффект кожи в медной проволоке с Круглым сечением: PDE Modeler Приложения

Этот пример показывает эффект кожи, когда провод с круглым сечением несет ток переменного тока. В твердом проводнике, таком как провод, ток переменного тока перемещается около поверхности провода и избегает области, близкой к центру провода. Этот эффект называется эффектом кожи. В примере используется приложение PDE Modeler.

Уравнение Гельмгольца

$- \nabla \cdot (\frac{1}{μ} \nabla E_{c}) + (j ω σ - ω^{2} ε) E_{c} = 0$

описывает распространение плоских электромагнитных волн в несовершенных диэлектриках и хороших проводниках (σ "ωε). Коэффициент диэлектричества ε = 8,8 * 10^-12 F/м. Проводимость меди σ = 57 * 10⁶ С/м. Магнитная проницаемость меди близка к магнитной проницаемости вакуума, µ = 4 π * 10^–7 Ч/м. The ω²ε -терм незначителен на частоте линии (50 Гц).

Из-за индукции плотность тока во внутренней части проводника меньше, чем на внешней поверхности, где она установлена на _JS = 1. Условие Дирихле для электрического поля _Ec = 1/ σ. В этом случае аналитическое решение является

$J = J_{S} \frac{J_{0} (k r)}{J_{0} (k R)}$

Вот,

$k = \sqrt{j ω μ σ},$

R - радиус провода, r - расстояние от центральной линии, а J 0 (x) - первая функция Бесселя порядка нули.

Чтобы решить эту проблему в приложении PDE Modeler, выполните следующие шаги:

Нарисуйте окружность с радиусом 0,1. Окружность представляет собой поперечное сечение проводника.
```
pdecirc(0,0.05,0.1)
```
Установите x предел оси равным [-0.2 0.2] и предел по оси y, равный [-0.1 0.2]. Для этого выберите Options > Axes Limits и установите соответствующие области значений. Затем выберите Options > Axes Equal.
Установите режим приложения равным AC Power Electromagnetics.
Задайте условие контура Дирихле E = _JS/ σ = 1/ σ для контура круга. Для этого:
1. Переключиться в граничный режим путем выбора Boundary > Boundary Mode.
2. Выбрать все контуры можно используя команду Edit > Select All.
3. Выберите Boundary > Specify Boundary Conditions.
4. Задайте h = 1 и r = 1/57E6.
Задайте коэффициенты УЧП. Для этого перейдите в режим PDE путем выбора PDE > PDE Mode. Затем выберите PDE > PDE Specification или нажмите кнопку PDE на панели инструментов. Задайте следующие значения:
- Угловая частота omega = 2*pi*50
- Магнитная проницаемость mu = 4*pi*1E-7
- Коэффициент проводимости sigma = 57E6
- Коэффициент диэлектричества epsilon = 8.8E-12
Инициализируйте mesh путем выбора Mesh > Initialize Mesh.
Решить УЧП можно путем выбора Solve > Solve PDE или нажатия кнопки = на панели инструментов.
Решение электромагнитного уравнения степени переменного тока комплексное. При построении графика решения вы получаете предупреждающее сообщение.
Постройте график плотности тока как 3-D график. Для этого:
1. Выберите Plot > Parameters.
2. Выберите Color и опции Height(3-D plot).
3. Выберите current density из раскрывающегося меню Property для опций Color и Height(3-D plot).
4. Выберите Show Mesh, чтобы наблюдать за mesh.
Из-за эффекта кожи плотность тока на поверхности проводника намного выше, чем в интерьере проводника.
Улучшите точность решения вблизи поверхности с помощью адаптивного уточнения сетки. Для этого:
1. Выберите Solve > Parameters.
2. В получившемся диалоговом окне выберите Adaptive mode.
3. Установите максимальное количество треугольников равным Inf.
4. Установите максимальное количество уточнений равным 1.
5. Выберите Worst triangles метод выбора.
Пересчитайте решение пять раз. Каждый раз адаптивный решатель уточняет область с самыми большими ошибками. Количество треугольников печатается в командной строке.
Постройте график плотности тока как 3-D график.
Эти графики показывают реальную часть решения, но вектор решения является полным комплексным решением. Постройте график мнимой части решения. Для этого:
1. Выберите Plot > Parameters.
2. Выберите Color и опции Height(3-D plot).
3. Выберите user entry из раскрывающегося меню Property как для Color, так и для Height(3-D plot) опций.
4. Тип imag(u) в соответствующих User entry полях.
5. Выберите Show Mesh, чтобы наблюдать за mesh.
Заметьте, что эффект кожи зависит от частоты переменного тока. Когда вы увеличиваете или уменьшаете частоту, «глубина» кожи увеличивается или уменьшается, соответственно. На высоких частотах ток проводит только тонкий слой на поверхности провода. На очень низких частотах (приближающихся к условиям постоянного тока) ток протекает почти по всей площади поперечного сечения провода.
Найдите решение для угловых частот omega = 2*pi*1000, omega = 2*pi*50, и omega = 1E-6. Постройте график реальных частей решений в 2-D.
Плотность тока для омега = 2 * pi * 1000
Плотность тока для омега = 2 * pi * 50
Плотность тока для омега = 1E-6

Документация

Эффект кожи в медной проволоке с Круглым сечением: PDE Modeler Приложения

Partial Differential Equation Toolbox производными

Поддержка