Exponenta Banner

Уравнение Пуассона на единичном диске: приложение PDE Modeler

В этом примере показано, как решить уравнение Пуассона на единичном диске и вычислить числовую ошибку решения.

Этот пример использует приложение PDE Modeler. Для программного рабочего процесса смотрите Уравнение Пуассона на единичном диске. Поскольку приложение и программный рабочий процесс используют различные сетки, они дают несколько другие результаты.

Формулировка задачи - -И u = 1 в, u = 0 на ∂ И, где И является единичным диском. Точное решение:

u(x,y)=1−x2−y24

Чтобы решить эту проблему в приложении PDE Modeler, выполните следующие шаги:

  1. Откройте приложение PDE Modeler при помощи pdeModeler команда.

  2. Отобразить линии сетки можно путем выбора Options > Grid.

  3. Выровнять новые формы по линиям сетки можно путем выбора Options > Snap.

  4. Нарисуйте окружность с радиусом 1 и центром в (0,0). Для этого сначала нажмите кнопку. Затем щелкните правой кнопкой мыши источник и перетащите мышью, чтобы нарисовать круг. Щелчок правой кнопкой мыши ограничивает рисуемую форму так, чтобы она была окружностью, а не эллипсом. Если окружность не является идеальной единичной окружностью, дважды кликните ее. В получившемся диалоговом окне задайте точное центральное положение и радиус окружности.

  5. Проверьте, что в прикладном режиме задано Generic Scalar.

  6. Задайте граничные условия. Для этого перейдите в граничный режим нажатием кнопки или выбором Boundary > Boundary Mode. Выберите все контуры путем выбора Edit > Select All. Затем выберите Boundary > Specify Boundary Conditions и задайте граничное условие Дирихле u  = 0. Это граничное условие является условием по умолчанию (h = 1, r = 0), так что менять его не нужно.

  7. Задайте коэффициенты, выбрав PDE > PDE Specification или нажав кнопку PDE на панели инструментов. Задайте c = 1, a = 0, и f = 1.

  8. Задайте максимальный размер ребра для mesh путем выбора Mesh > Parameters. Установите максимальный размер ребра равным 0,1.

  9. Инициализируйте mesh, выбрав Mesh > Initialize Mesh или нажав кнопку.

  10. Решить УЧП можно путем выбора Solve > Solve PDE или нажатия кнопки = на панели инструментов. Тулбокс собирает задачу УЧП, решает её и строит график решения.

  11. Сравните численное решение с точным решением:

    1. Выберите Plot > Parameters.

    2. В получившемся диалоговом окне выберите user entry из раскрывающегося меню Color.

    3. Постройте график абсолютной ошибки в решении путем ввода MATLAB® выражение u-(1-x.^2-y.^2)/4 в поле User entry.

  12. Уточнить mesh можно путем выбора Mesh > Refine Mesh или нажатия кнопки.

  13. Сравните численное решение с точным решением для рафинированного mesh. Постройте график абсолютной ошибки.

  14. Экспортировать данные сетки и решение в рабочее пространство MATLAB можно путем выбора Mesh > Export Mesh и Solve > Export Solution, соответственно.

Partial Differential Equation Toolbox производными

Поддержка