Моделируйте планарный маятник

Откройте модель

Рассмотрим точечную массу m, подвешенную безмассовым стержнем длины l под действием силы тяжести. Положение массы может быть выражено в Декартовых координатах как (x, y).

Моделирование системы

Баланс сил массы задает уравнения движения в направлениях x и y.

$$
\begin{array}{rclccr}
m\ddot{x}&=&F\sin\theta&&(1)\\
m\ddot{y} + F\cos\theta&=&-mg&&(2)\\
\end{array}
$$

Пусть (u, v) - скорости в (x, y) соответственно. Система может быть переписана как система ОДУ первого порядка

$$
\begin{array}{rclccr}
\dot{x} &=&u&&(3)\\
\dot{u}&=&-F\frac{x}{ml}&&(4)\\
\dot{y} &=&v&&(5)\\
\dot{v} &=&-F\frac{y}{ml} - g&&(6)
\end{array}
$$

где F - натяжение в штоке. Система также обладает геометрическим ограничением

$$\begin{array}{rclccr}x^2 + y^2 &=& l^2&&(7)\end{array}$$

Дифференцируйте (7) дважды относительно времени t, чтобы прибыть к

$$
\begin{array}{rclccr}
m(u^2 + v^2) -Fl-mgy&=&0&&(8)
\end{array}
$$

Эта связь полезна, поскольку она позволяет F определять на каждом шаге для использования в моделировании кинематики системы.

Симуляция системы

Система моделируется как показано на рисунке ниже

Уравнение (8) содержит одну неизвестную F и имеет вид f (z) = 0 где$f(z) = m(u^2+v^2)-Fl-mgy$. Блок Алгебраических ограничений ограничивает f (z) до 0 и решает для F в соответствии с (8).

Ссылки

Волосы, Эрнст, Кристиан Любич и Мишель Рош. Численное решение дифференциально-алгебраических систем методами Рунге-Кутты. Лекции по математике. Том 1409, Берлин: Springer-Verlag, 1989: pp. 8-9.

Документация Simulink

Поддержка

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте