Этот пример показывает, как использовать числовую оптимизацию для настройки параметров контроллера нелинейной системы. В этом примере мы моделируем систему CE 152 Magnetic Levitation, где контроллер используется для позиционирования свободно левитирующего мяча в магнитном поле. Структура управления для этой модели фиксирована, и необходимая эффективность контроллера может быть задана в терминах идеализированной временной характеристики.
Теорема Эрншоу доказала, что достичь стабильной левитации невозможно с помощью статических, макроскопических, классических электромагнитных полей. Однако система CE 152 работает вокруг этого путем создания потенциальной скважины вокруг точки, в которой мяч должен быть подвешен, тем самым создавая невозвращенную квадратную силу закона. Это достигается индуктивной катушкой, которая генерирует изменяющееся во времени электромагнитное поле. Электромагнитное поле управляется с помощью обратной связи, чтобы сохранить мяч в необходимом месте.
open_system('maglev_demo')
Магнитная система левитации является нелинейной динамической системой с одним входом и одним выходом. Дважды кликните Magnetic Levitation Plant Model чтобы открыть эту подсистему. Напряжение входа прикладывается к катушке, которая создает электромагнитное поле. Напряжение выхода измеряется ИК- приемник и представляет положение мяча в магнитном поле. На схеме ниже описана эта система.
Физическая система состоит из мяча (массой 0,00837 кг), который находится под воздействием трех сил:
Магнитное поле, создаваемое индуктивной катушкой. Это моделируется Power amplifier and coil блок в модели Simulink ®. Вход в индуктор является сигналом напряжения, а выход - током. Сила от катушки зависит от квадрата тока, воздушного зазора между катушкой и мячом и физических свойств мяча. Это создает направленную вверх силу действия на мяч.
Сила тяжести, действующая вниз
Демпфирующая сила, которая действует в направлении, противоположном скорости в любой момент времени
Эти три силы вызывают результирующее движение мяча и моделируются в Simulink, как показано.
open_system('maglev_demo/Magnetic Levitation Plant Model')
Нелинейности, возникающие из-за насыщения катушки и изменений в динамике за пределами магнитного поля, также моделируются в модели Simulink. Когда сила от катушки распадается в соответствии с обратным квадратным законом, требуются большие напряжения, далее мяч от катушки. Сигнал управления масштабируется, чтобы учесть это, и масштабирование включено в блоки масштабирования сигнала управления.
Требование для контроллера состоит в том, чтобы он мог позиционировать мяч в любом произвольном месте в магнитном поле и чтобы он перемещал мяч из одного положения в другое. Эти требования регистрируются путем размещения ограничений, ограничивающих переходную характеристику, на измерении положения. В частности, мы требуем следующих ограничений на мяч:
Ограничение положения: в пределах 20% от желаемого положения менее чем за 0,5 секунды
Время урегулирования: в пределах 2% от желаемого положения в течение 1,5 секунды
Чтобы соответствовать требованиям управления, мы реализуем контроллер Пропорционально-Интегрально-Производная (PID). Для удобства контроллер использует нормированное измерение положения с областью значений от 0 до 1, представляющее нижнее самое большое и самое верхнее положения мяча соответственно.
Simulink ® Design Optimization™ и числовая оптимизация идеально подходят для настройки ПИД-коэффициентов, потому что:
Динамика системы достаточно сложна, чтобы потребовать усилий и времени для анализа, если мы подходим к задаче с помощью обычных методов системы управления.
Структура контроллера фиксирована
У нас есть знания о переходной характеристике, которые мы требуем от системы.
Учитывая характеристику переходной характеристики, которую мы хотим, просто задать верхнюю и нижнюю границы отклика. Дважды кликните Position Constraint блок в Magnetic Levitation Plant Model подсистема для просмотра ограничений на положение мяча. Ограничительные линии могут быть перемещены с помощью мыши.
Можно запустить Response Optimizer с помощью меню Приложения на панели инструментов Simulink или sdotool команда в MATLAB. Можно запустить предварительно сконфигурированную задачу оптимизации в Response Optimizer, сначала открывая модель и дважды кликнув по оранжевому блоку в нижней части модели. В Response Optimizer нажмите кнопку Plot Model Response, чтобы симулировать модель и показать, насколько хорошо исходная конструкция удовлетворяет требованиям проекта.
Выбираем параметры ПИД-регулятора для настройки, открывая Design Variables редактор, как показано ниже
После определения параметров оптимизации и необходимых границ переходной характеристики мы запускаем оптимизацию, нажав кнопку Оптимизировать (Optimize) из Оптимизатора Отклика (Response Optimizer). Во время оптимизации графики обновляются положением мяча для каждой итерации, и темная кривая показывает окончательную оптимизированную траекторию мяча (как показано ниже).
После завершения оптимизации важно проверить результаты по другим размерам шага. Успешная оптимизация параметров управления должна быть способна обеспечить хорошее управление для всех размеров шагов, близких к настроенному размеру шага 1. Размер шага от .7 до 1 должен быть проверен, чтобы подтвердить эффективность контроллера. Следующий график показывает ответ на вход шага от 0 до 0,85 на 0,1 секунде.
Шаг верификации показывает, что эффективность контроллера удовлетворяет заданным требованиям и настроенные значения параметров подходят для управления. Настроенные параметры могут использоваться, чтобы обеспечить базовую эффективность, с которой могут сравниваться другие схемы управления, или базовый уровень для контроллеров для различных рабочих областей.
% Close the model bdclose('maglev_demo')