Подгонка смешанных эффектов Сплайна регрессии

Этот пример показов аппроксимацию линейного сплайна модели со смешанными эффектами.

Загрузите выборочные данные.

load('mespline.mat');

Это моделируемые данные.

График $$y$$ от отсортированного $$x$$.

[x_sorted,I] = sort(x,'ascend');
plot(x_sorted,y(I),'o')

Подгонка следующей модели линейной регрессии сплайна с смешанными эффектами

где $$k_j$$ является $$j$$ 1й узел, и $$K$$ - общее количество узлов. Предположим, что $$b_j\sim N(0,{\sigma }_b^2)$$ и $$ϵ\sim N(0,{\sigma }^2)$$.

Определите узлы.

k = linspace(0.05,0.95,100);

Задайте матрицы проекта.

X = [ones(1000,1),x];
Z = zeros(length(x),length(k));
for j = 1:length(k)
      Z(:,j) = max(X(:,2) - k(j),0);
end

Подгонка модели с изотропной ковариационной структурой для случайных эффектов.

lme = fitlmematrix(X,y,Z,[],'CovariancePattern','Isotropic');

Подбор модели только с фиксированными эффектами.

X = [X Z];
lme_fixed = fitlmematrix(X,y,[],[]);

Сравнение lme_fixed и lme через моделируемый тест коэффициента правдоподобия.

compare(lme,lme_fixed,'NSim',500,'CheckNesting',true)

ans = 
    Simulated Likelihood Ratio Test: Nsim = 500, Alpha = 0.05

    Model        DF     AIC       BIC       LogLik     LRStat    pValue 
    lme            4    170.62    190.25    -81.309                     
    lme_fixed    103    113.38    618.88     46.309    255.24    0.68064


    Lower      Upper  
                      
    0.63784    0.72129

$$p$$-значение указывает, что модель только с фиксированными эффектами не лучше подгонки, чем модель регрессии сплайна со смешанными эффектами.

Постройте график подобранных значений из обеих моделей поверх исходных данных отклика.

R = response(lme);
figure();
plot(x_sorted,R(I),'o', 'MarkerFaceColor',[0.8,0.8,0.8],...
    'MarkerEdgeColor',[0.8,0.8,0.8],'MarkerSize',4);
hold on
F = fitted(lme);
F_fixed = fitted(lme_fixed);
plot(x_sorted,F(I),'b');
plot(x_sorted,F_fixed(I),'r');
legend('data','mixed effects','fixed effects','Location','NorthWest')
xlabel('sorted x values');
ylabel('y');
hold off

На рисунке также видно, что модель смешанных эффектов обеспечивает лучшую подгонку к данным, чем модель только с фиксированными эффектами.