Этот пример выводит и применяет обратную кинематику к двухзвеннику робота при помощи MATLAB ® и Symbolic Math Toolbox™.
Пример определяет параметры соединений и положения конечного эффектора символически, вычисляет и визуализирует решения прямой и обратной кинематики и находит систему Jacobian, которая полезна для симуляции движения руки робота.
Задайте длины ссылок, углы поворота шарнира и положения конечных эффекторов роботов как символьные переменные.
syms L_1 L_2 theta_1 theta_2 XE YE
Задайте значения для длин ссылки робота.
L1 = 1; L2 = 0.5;
Задайте координаты X и Y end-effector как функцию от углов поворота шарнира .
XE_RHS = L_1*cos(theta_1) + L_2*cos(theta_1+theta_2)
XE_RHS =
YE_RHS = L_1*sin(theta_1) + L_2*sin(theta_1+theta_2)
YE_RHS =
Преобразуйте символические выражения в функции MATLAB.
XE_MLF = matlabFunction(XE_RHS,'Vars',[L_1 L_2 theta_1 theta_2]); YE_MLF = matlabFunction(YE_RHS,'Vars',[L_1 L_2 theta_1 theta_2]);
Прямая кинематика преобразует углы поворота шарнира в положения end-effector: . Учитывая конкретные значения угла поворота шарнира, используйте кинематику вперед, чтобы вычислить местоположения конечного эффектора.
Задайте входные значения углов поворота шарнира как и .
t1_degs_row = linspace(0,90,100); t2_degs_row = linspace(-180,180,100); [tt1_degs,tt2_degs] = meshgrid(t1_degs_row,t2_degs_row);
Преобразуйте угол модулей из степеней в радианы.
tt1_rads = deg2rad(tt1_degs); tt2_rads = deg2rad(tt2_degs);
Вычислите координаты X и Y с помощью функций MATLAB XE_MLF
и YE_MLF
, соответственно.
X_mat = XE_MLF(L1,L2,tt1_rads,tt2_rads); Y_mat = YE_MLF(L1,L2,tt1_rads,tt2_rads);
Визуализируйте координаты X и Y с помощью вспомогательной функции plot_XY_given_theta_2dof
.
plot_XY_given_theta_2dof(tt1_degs,tt2_degs,X_mat,Y_mat,(L1+L2))
Обратная кинематика преобразует положения end-effector в углы поворота шарнира: . Найдите обратную кинематику из уравнений прямой кинематики.
Задайте уравнения прямой кинематики.
XE_EQ = XE == XE_RHS; YE_EQ = YE == YE_RHS;
Решить для и .
S = solve([XE_EQ YE_EQ], [theta_1 theta_2])
S = struct with fields:
theta_1: [2x1 sym]
theta_2: [2x1 sym]
Структура S
представляет несколько решений для и . Покажите пару решений для .
simplify(S.theta_1)
ans =
Покажите пару решений для .
simplify(S.theta_2)
ans =
Преобразуйте решения в функции MATLAB, которые можно использовать позже. Функции TH1_MLF
и TH2_MLF
представление обратной кинематики.
TH1_MLF{1} = matlabFunction(S.theta_1(1),'Vars',[L_1 L_2 XE YE]); TH1_MLF{2} = matlabFunction(S.theta_1(2),'Vars',[L_1 L_2 XE YE]); TH2_MLF{1} = matlabFunction(S.theta_2(1),'Vars',[L_1 L_2 XE YE]); TH2_MLF{2} = matlabFunction(S.theta_2(2),'Vars',[L_1 L_2 XE YE]);
Используйте обратную кинематику, чтобы вычислить и от координат X и Y.
Задайте точки сетки координат X и Y.
[xmat,ymat] = meshgrid(0:0.01:1.5,0:0.01:1.5);
Вычислите углы и использование функций MATLAB TH1_MLF{1}
и TH2_MLF{1}
, соответственно.
tmp_th1_mat = TH1_MLF{1}(L1,L2,xmat,ymat); tmp_th2_mat = TH2_MLF{1}(L1,L2,xmat,ymat);
Преобразуйте угол модулей из радианов в степени.
tmp_th1_mat = rad2deg(tmp_th1_mat); tmp_th2_mat = rad2deg(tmp_th2_mat);
Некоторые входные координаты, такие как (X, Y) = (1.5,1.5), находятся за пределами достижимой рабочей области конечного эффектора. Решения обратной кинематики могут сгенерировать некоторые мнимые значения theta, которые требуют коррекции. Исправьте мнимые значения theta.
th1_mat = NaN(size(tmp_th1_mat)); th2_mat = NaN(size(tmp_th2_mat)); tf_mat = imag(tmp_th1_mat) == 0; th1_mat(tf_mat) = real(tmp_th1_mat(tf_mat)); tf_mat = imag(tmp_th2_mat) == 0; th2_mat(tf_mat) = real(tmp_th2_mat(tf_mat));
Визуализируйте углы и использование функции helper plot_theta_given_XY_2dof
.
plot_theta_given_XY_2dof(xmat,ymat,th1_mat,th2_mat)
Определение системы якобиан:
the_J = jacobian([XE_RHS YE_RHS],[theta_1 theta_2])
the_J =
Можно связать скорость соединения со скоростью конечного эффектора, и наоборот, используя систему Jacobian:
Можно также преобразовать символическое выражение якобиана в блок MATLAB function. Симулируйте положения конечного эффектора робота на траектории путем определения нескольких точек пути в качестве входов для модели Simulink. Модель Simulink может вычислить профиль движения на основе значений угла поворота шарнира, чтобы достичь каждой путевой точки в траектории. Для получения дополнительной информации смотрите Обратную кинематику двухзвенника Робота Arm и Обучение Динамике Твёрдого Тела.
function plot_theta_given_XY_2dof(X_mat,Y_mat,theta_1_mat_degs,... theta_2_mat_degs) xlab_str = 'X (m)'; ylab_str = 'Y (m)'; figure; hax(1) = subplot(1,2,1); contourf(X_mat, Y_mat, theta_1_mat_degs); caxis(hax(1), [-180 180]); colormap(gca,'jet'); colorbar xlabel(xlab_str, 'Interpreter', 'tex'); ylabel(ylab_str, 'Interpreter', 'tex'); title(hax(1), '\theta_1', 'Interpreter', 'tex') axis('equal') hax(2) = subplot(1,2,2); contourf(X_mat, Y_mat, theta_2_mat_degs); caxis(hax(2), [-180 180]); colormap(gca,'jet'); colorbar xlabel(xlab_str, 'Interpreter', 'tex'); ylabel(ylab_str, 'Interpreter', 'tex'); title(hax(2), '\theta_2', 'Interpreter', 'tex') axis('equal') end function plot_XY_given_theta_2dof(theta_1_mat_degs,theta_2_mat_degs,... X_mat,Y_mat,a_cmax) xlab_str = '\theta_1 (degs)'; ylab_str = '\theta_2 (degs)'; figure; hax(1) = subplot(1,2,1); contourf(theta_1_mat_degs, theta_2_mat_degs, X_mat); caxis(hax(1), [0 a_cmax]); colormap(gca,'jet'); colorbar xlabel(xlab_str, 'Interpreter', 'tex'); ylabel(ylab_str, 'Interpreter', 'tex'); title(hax(1), 'X_E', 'Interpreter', 'tex') hax(2) = subplot(1,2,2); contourf(theta_1_mat_degs, theta_2_mat_degs, Y_mat); caxis(hax(1), [0 a_cmax]); colormap(gca,'jet'); colorbar xlabel(xlab_str, 'Interpreter', 'tex'); ylabel(ylab_str, 'Interpreter', 'tex'); title(hax(2), 'Y_E', 'Interpreter', 'tex') end