Этот пример показывает, как аналитически найти и вычислить производные с помощью Symbolic Math Toolbox™. В примере вы найдете 1-ю и 2-ю производные f (x) и используете эти производные, чтобы найти локальные максимумы, минимумы и точки перегиба.
Первые производные: нахождение локальных минимумов и максимумов
Вычисление первой производной выражения помогает вам найти локальные минимумы и максимумы этого выражения. Перед созданием символьного выражения объявите символьные переменные:
По умолчанию решения, включающие мнимые компоненты, включаются в результаты. Здесь рассмотрим только реальные значения x
путем установки предположения, что x
реально:
В качестве примера создайте рациональное выражение (т.е. дробь, где числитель и знаменатель являются полиномиальными выражениями).
f =
Графическое изображение этого выражения показывает, что выражение имеет горизонтальную и вертикальную асимптоты, локальный минимум от -1 до 0 и локальный максимум от 1 до 2:
Чтобы найти горизонтальную асимптоту, вычислите пределы f
для x
приближение к положительной и отрицательной бесконечности. Горизонтальная асимптота y = 3/2
:
Добавьте эту горизонтальную асимптоту к графику:
Чтобы найти вертикальную асимптоту f
, найти полюса f
:
pole_pos =
Приблизите точное решение численно при помощи double
функция:
Теперь найдите локальный минимум и максимум f
. Если точка является локальным экстремальным значением (минимальной или максимальной), первая производная выражения в этой точке равна нулю. Вычислите производную f
использование diff
:
g =
Чтобы найти локальную экстрему f
, решить уравнение g == 0
:
g0 =
Приблизите точное решение численно при помощи double
функция:
Выражение f
имеет локальный максимум в x = 1.286
и локальный минимум в x = -0.189
. Получите значения функций в этих точках, используя subs
:
f0 =
Приблизите точное решение численно при помощи double
функция на переменной f0
:
Добавьте маркеры точек к графику в экстремуме:
Вторые производные: нахождение точек перегиба
Вычисление второй производной позволяет вам найти точки перегиба выражения. Самый эффективный способ вычисления производных второго или более высокого порядка - использовать параметр, который задает порядок производной:
h =
Теперь упростите этот результат:
h =
Чтобы найти точки перегиба f
, решить уравнение h = 0
. Здесь используйте численный решатель vpasolve
для вычисления приближений решений с плавающей точкой:
h0 =
Выражение f
имеет две точки перегиба: x = 1.865
и x = 0.579
. Обратите внимание, что vpasolve
также возвращает комплексные решения. Отменить:
h0 =
Добавьте маркеры к графику, показывающему точки перегиба: